Blatt 1 der¨Ubungen zur Vorlesung Gewöhnliche

Blatt 1 der Übungen zur Vorlesung
Gewöhnliche Differentialgleichungen,
LMU München, Sommersemester 2016
PD Dr. Peter Philip, Dr. Jan Swoboda
5. April 2016
1. (4+3+3 Punkte)
(a) Finden Sie zu jedem k ∈ N eine implizite gewöhnliche Differentialgleichung k-ter
Ordnung so, dass die Funktion
φ : R+ → R,
φ(x) =
1
x
eine Lösung der DGL ist.
(b) Finden Sie eine explizite DGL zweiter Ordnung der Form
y 00 = y 0 e−x + f (x)
so, dass die Funktion
2
φ: R → R ,
φ(x) =
x sin x
2x4 − x2
eine Lösung darstellt. Die Aufgabe besteht also darin, f zu bestimmen.
(c) Geben Sie eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung an, die keine Lösung
besitzt.
2. (5+5 Punkte)
(a) Finden Sie eine Lösung des Anfangswertproblems des freien Falls
x00 (t) = −g,
x(0) = x0 ,
x0 (0) = v0 ,
wobei g ∈ R+ und x0 , v0 ∈ R (beim freien Fall interpretiert man g als Erdbeschleunigung, t als Zeit, x als vertikale Koordinate eines Objekts sowie x0 (bzw.
v0 ) als Ort (bzw. Geschwindigkeit) des Objekts zum Zeitpunkt t = 0). Machen
Sie die Probe, dass die von Ihnen gefundene Funktion wirklich das obige Anfangswertproblem löst.
(b) Betrachten Sie die gewöhnliche Differentialgleichung y 0 = f (x, y) mit f : R×R+ →
R, f (x, y) = −x/y. Skizzieren Sie das zugehörige Richtungsfeld und erraten Sie
mit Hilfe der Skizze eine Lösung der DGL. Überprüfen Sie, dass die von Ihnen
erratene Funktion wirklich eine Lösung der DGL ist.
3. (10 Punkte) Bestimmen Sie zu gegebener Konstante k > 0 eine explizite Differentialgleichung erster Ordnung für eine streng monoton steigende Funktion f : R → R
so, dass der Graph C von f die folgende Eigenschaft besitzt. Für jeden Punkt A des
Graphen gilt, dass die Tangente an C, die durch A geht, die x-Achse in einem Punkt
B = B(A) schneidet mit |AB| = k, wobei |AB| die Länge der Strecke zwischen A und
B bezeichnet.
4. (10 Punkte) Betrachten Sie die explizite Differentialgleichung k-ter Ordnung
y (k) = f (x, y, y 0 , . . . , y (k−1) )
(1)
mit f : G → Kn , wobei G eine offene Teilmenge von R × Kkn ist. Es sei I ⊆ R ein
offenes Intervall und φ : I → Kn eine Lösung von (1).
Zeigen Sie, dass die k-te Ableitung von φ stetig ist, falls f stetig ist. Zeigen Sie auch,
dass, falls f differenzierbar ist, die (k + 1)-te Ableitung von φ existiert.
Abgabe des Übungsblattes bis Freitag, 22.04.2014, 14 s. t., im Kasten zur Vorlesung
neben der Bibliothek.
Hinweis: Es erfolgt eine Punkteteilung bei gemeinsamer Abgabe, das heißt, die Punkte
einer Aufgabe werden zwischen allen, die identische oder abgeschriebene Lösungen für die
Aufgabe abgeben, geteilt. Weitere Hinweise zur Vorlesung und den Übungen sind auf der
Seite
http://www.math.lmu.de/~swoboda/DGL_SoSem16.html
zu finden.

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