Blatt 5 - Mathematik

Blatt 5 der Übungen zur Vorlesung
Gewöhnliche Differentialgleichungen von PD Dr. Peter Philip,
LMU München, Sommersemester 2016
Dr. Jan Swoboda
11. Mai 2016
1. (10 Punkte) Sei D ⊂ R2 und f : D → R. Es seien ϕ, ψ : [a, b] → R differenzierbare
Funktionen mit
∀ ϕ0 (x) = f (x, ϕ(x))
x∈[a,b]
und
∀ ψ 0 (x) < f (x, ψ(x)).
x∈[a,b]
Zeigen Sie, dass ϕ(x) > ψ(x) für alle x ∈ [a, b] gilt, falls ϕ(a) > ψ(a) ist.
2. (4+3+3 Punkte) Es seien (K, d) und (Y, d0 ) metrische Räume und F eine Menge von
Funktionen von K nach Y . In der Vorlesung wurde definiert, was es heißt, dass die
Menge F gleichmäßig gleichgradig stetig ist. Weiterhin nennen wir F gleichgradig stetig
an der Stelle x ∈ X genau dann, wenn
∀ ∃ ∀ 0∀ d(x, x0 ) < δ ⇒ d0 f (x), f (x0 ) < ;
>0δ>0f ∈F x ∈K
und gleichgradig stetig genau dann, wenn F an jeder Stelle x ∈ X gleichgradig stetig
ist.
(a) Zeigen Sie, dass für K kompakt gilt: F gleichgradig stetig ⇔ F gleichmäßig gleichgradig stetig.
(b) Geben Sie ein Beispiel einer Menge F stetiger Funktionen an, die nicht gleichgradig
stetig ist und beweisen Sie die Korrektheit Ihrer Lösung.
(c) Beweisen oder widerlegen Sie: Besteht F aus gleichmäßig stetigen Funktionen und
ist F gleichgradig stetig, so ist F gleichmäßig gleichgradig stetig.
3. (10 Punkte) Es seien I ⊆ R ein offenes Intervall und p, q, r ∈ C(I, R). Eine Differentialgleichung der Form
y 0 = p + qy + ry 2
(1)
heißt Riccati-Differentialgleichung. Es sei λ : I → R eine Lösung von (1) und µ : I → R
eine überall von λ verschiedene differenzierbare Funktion. Beweisen Sie, dass µ genau
dann eine Lösung von (1) ist, wenn
ν :=
1
λ−µ
eine Lösung der inhomogenen linearen DGL
z 0 = −(q + 2rλ)z + r
ist.
(2)
4. (4+6 Punkte) Gegeben sei die Riccati-Differentialgleichung
2
2y 2
y = − − 2xy +
.
x
x
0
(3)
(a) Bestimmen Sie eine Polynomfunktion p, die die DGL (3) löst.
(b) Lösen Sie das Anfangswertproblem zur DGL (3) unter der Anfangsbedingung
(x0 , y0 ) ∈ (R \ {0}) × R.
Abgabe des Übungsblattes bis Freitag, 20.05.2016, 14 s. t., im Kasten zur Vorlesung
neben der Bibliothek.
Hinweis: Es erfolgt eine Punkteteilung bei gemeinsamer Abgabe, das heißt, die Punkte
einer Aufgabe werden zwischen allen, die identische oder abgeschriebene Lösungen für die
Aufgabe abgeben, geteilt. Weitere Hinweise zur Vorlesung und den Übungen sind auf der
Seite
http://www.math.lmu.de/~swoboda/DGL_SoSem16.html
zu finden.

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