微分幾何
課題 No.2
(2015.10.01)
2.1 次のパラメータ表示で表される xy 平面上の曲線を図示しなさい．
(1) x(t) = (2, 1) + (1, −1)t,
(3) x(t) = (t − 1, t2 − 2t)
0≤t≤2
(2) x(t) = (2 + cos t, 1 + sin t),
0≤t≤π
−1≤t≤3
2.2 次の曲線のパラメータ表示を求めなさい．
(1) 2x + y − 4 = 0
(2) (x − 1)2 + (y + 2)2 = 4
(3)
x2
y2
+
=1
4
9
2.3 次の曲線の長さ L を求めなさい．ただし，a > 0.
(1) x(t) = (a cos3 t, a sin3 t) (0 ≤ t ≤ 2π)
(2) x(t) = (a(t − sin t), a(1 − cos t))
(0 ≤ t ≤ 2π)
2.4 次の曲線の弧長 s を t で表しなさい．ただし，ω, b は正の定数である．
(1) x(t) = (cos ωt, sin ωt) (0 ≤ t ≤ 2π)
(3) x(t) = (et cos t, et sin t)
(2) x(t) = (t, cosh t) (0 ≤ t ≤ b)
(0 ≤ t ≤ b)
2.5 曲線 C : x(t) = (x(t), y(t)) (a ≤ t ≤ b) とその弧長パラメータを s とする．
(1)
ds
はどう表せるか答えなさい．
dt
(2) t を弧長パラメータ s で表し，C を x̃(s) = x(t(s)) と表す．接ベクトル
に 1 になることを示しなさい．
(3)
dx̃(s)
の長さは常
ds
dx̃
d2 x̃
と
は直交することを示しなさい．
ds
ds2
2.6 問 2.4 の曲線 (1), (2), (3) について，弧長パラメータ s で表した曲線 x̃(s) を求めなさい．

微分幾何 課題 No.1 (2015.9.24)

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