応用数理 C 定期試験（鈴木）2014 年 7 月 30 日注意事項 1. 問題用紙は 2 枚 4 ページ. 解答は直接記入. 1 ページ目と 3 ページ目の下に自分の学籍番号と名前を記入. 2. 時間厳守 (13:00-14:30). 持ち込み禁止問題 1. ベクトル場 v = v(x) ∈ R3 , x ∈ R3 に対して微分方程式 dx = v(x), dt x(0) = x0 を用い, x(t) = Tt (x0 ) によって力学系 {Tt }t を定める. ω ⊂ R3 を有界領域, |Tt (ω)| を集合 Tt (ω) = {Tt x | x ∈ ω} の体積とする. このとき ∫ d |Tt (ω)| = ∇ · v dx dt ω t=0 が成り立つことを示せ. 1 2. 1 次元格子 Z = {n∆x | n = 0, ±1, ±2, · · · , } 上を, 遷移時間 ∆t で移動する粒子を考える. 粒子が時刻 t で位置 n∆x に存在する存在確率を pn (t), その粒子が ∆t 時間後に位置 (n ± 1)∆x に移動する確率を Tn± とする. ± (a) マスター方程式, すなわち pn (t + ∆t) と pn (t) の関係を Tn± , Tn±1 を用いて表せ. (b) 遷移確率 Tn± が関数 T (x, t) を用いて Tn± = T (n∆x, t) で与えられるものとする. アインシュタインの規則 (∆x)2 =D ∆t の下で極限 p(x, t) = lim∆x↓0 pn (t), x = n∆x が満たす関係式（拡散方程式）を導け. 2 ∫ 2π y(t)dt = 0 である周期 2π の滑らかな関数 y(t) ̸= α sin t + β cos t (α, β 定数) を, フーリエ級数 3. 0 ∞ a0 ∑ 1 + (an cos nt + bn sin nt) , an = y(t) = 2 π n=1 ∫ 2π 0 1 y(t) cos nt dt, bn = π に展開し, 項別微分・項別積分を用いて ∫ 2π y ′ (t)2 dt > 0 ∫ y(t)2 dt 0 を示せ． 3 2π ∫ 2π y(t) sin nt dt 0 4. 1 ≤ p < ∞ に対し, R 上 p 乗可積分な関数の全体を Lp (R) とし, f ∈ L1 (R), g ∈ Lp (R) の畳み込みを ∫ (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y) dy R とする. ∥f ∗ g∥p ≤ ∥f ∥1 · ∥g∥p を示せ. 4