(x, y) を座標とする点 P が原点を中心とする半径 1 の円周上を一様な速さでまわっ ている. このとき, u = x(x + y), v = y(x + y) なる関係で定まる (u, v) を座標とす る点 Q も, ある円周上を一様な速さでまわっていることを証明せよ. 条件より, x2 + y 2 = 1 が成り立つ. これより, u + v = x(x + y) + y(x + y) = x2 + 2xy + y 2 = 1 + 2xy u2 + v 2 = x2 (x + y)2 + y 2 (x + y)2 = (x2 + y 2 )(x2 + 2xy + y 2 ) = 1 + 2xy より, u2 + v 2 = u + v )2 ( )2 ( 1 1 1 + v− = u− 2 2 2 ( ) 1 1 1 となるので, 点 (u, v) は , を中心とする半径 √ の円周上を動く. 2 2 2 あとは, これが一定の速さでまわることを示す. (x, y) が原点を中心とする半径 1 の円周上を一様な速さでまわっているので, x = cos θ, y = sin θ と表したとき, 速さ θ で回っている. これより, 1 1 u− = cos θ(cos θ + sin θ) − 2 2 1 = (2 cos2 θ + 2 sin θ cos θ − 1) 2 1 = (cos 2θ + sin 2θ) 2 1 = √ (sin(2θ + 45◦ )) 2 1 1 = sin θ(cos θ + sin θ) − v− 2 2 1 = (2 sin θ cos θ + 2 sin2 θ − 1) 2 1 = (sin 2θ − cos 2θ) 2 1 = √ (cos(2θ + 45◦ )) 2 より, 点 Q は点 P の倍の速さで回っている. 1
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