(x, y) を座標とする点 P が原点を中心とする半径 1 の円周上を一様な速さ

(x, y) を座標とする点 P が原点を中心とする半径 1 の円周上を一様な速さでまわっ
ている. このとき, u = x(x + y), v = y(x + y) なる関係で定まる (u, v) を座標とす
る点 Q も, ある円周上を一様な速さでまわっていることを証明せよ.
条件より,
x2 + y 2 = 1
が成り立つ. これより,
u + v = x(x + y) + y(x + y)
= x2 + 2xy + y 2
= 1 + 2xy
u2 + v 2 = x2 (x + y)2 + y 2 (x + y)2
= (x2 + y 2 )(x2 + 2xy + y 2 )
= 1 + 2xy
より,
u2 + v 2 = u + v
)2 (
)2
(
1
1
1
+ v−
=
u−
2
2
2
(
)
1 1
1
となるので, 点 (u, v) は
,
を中心とする半径 √ の円周上を動く.
2 2
2
あとは, これが一定の速さでまわることを示す.
(x, y) が原点を中心とする半径 1 の円周上を一様な速さでまわっているので, x = cos θ,
y = sin θ と表したとき, 速さ θ で回っている. これより,
1
1
u−
= cos θ(cos θ + sin θ) −
2
2
1
=
(2 cos2 θ + 2 sin θ cos θ − 1)
2
1
=
(cos 2θ + sin 2θ)
2
1
= √ (sin(2θ + 45◦ ))
2
1
1
= sin θ(cos θ + sin θ) −
v−
2
2
1
=
(2 sin θ cos θ + 2 sin2 θ − 1)
2
1
=
(sin 2θ − cos 2θ)
2
1
= √ (cos(2θ + 45◦ ))
2
より, 点 Q は点 P の倍の速さで回っている.
1

Download Report