微積分及び演習 II 補助プリント No.2 (2015.10.1)

微積分及び演習 II
補助プリント No.2 (2015.10.1)
∫
∫
∫
5. （ {c1 f (x) + c2 g(x)}dx = c1 f (x) dx + c2 g(x) dx の練習）次の不定積分を求めなさい．
)
)2
∫ (
∫
∫ (
x2
1
(1)
3x −
+ x3 dx
(2)
(sin x + e3x − x − 6)dx
(3)
e2x + x
2
e
6. （三角関数の計算練習）次の不定積分を求めなさい．
∫
∫
(1)
cos2 x dx
(2)
sin2 x dx
∫
∫
∫
(4)
sin 2x cos 3x dx
(5)
tan2 x dx
(3)
∫
cos 3x cos 5x dx
(6)
sin 4x sin 6x dx
∫ b
∫ c
∫ c
∫ b
∫ a
7. 定積分の性質:(i)
f (x)dx +
f (x)dx =
f (x)dx (ii)
f (x)dx = −
f (x)dx, (iii)
a∫
b ∫
a
a
b
∫ b
b
b
(−f (x)) dx = −
f (x)dx, (iv)
Adx = A(b − a) (A : 定数) (v) 区間 [a, b] で f (x) ≤ g(x)
a
a
∫ ab
∫ b
なら
f (x) dx ≤
g(x) dx. これらの性質を前提として以下のことを示しなさい．
a
a
∫
∫
b
b
(1) f (x) dx ≤
|f (x)| dx
a
a
∫ b
1
f (x) dx = f (c) (a <
b−a a
c < b) を満たす c が少なくとも一つ存在する．
（連続関数の中間値の定理と (1) を使って
よい．
）
∫
(2) (積分に関する平均値の定理）区間 [a, b] で f (x) が連続なら
x
(3) f (x) は区間 I で連続とする．a ∈ I に対して F (x) =
f (t) dt とおくと F (x) は f (x) の
a
原始関数である．((2) の結果を使ってよい.)
∫ b
8. f (x) の原始関数 F (x) を使って f (x) の定積分は，
f (x)dx = F (b) − F (a) と表される. また，
∫ b
∫ b
∫ b a
{c1 f (x) + c2 g(x)} dx = c1
f (x) dx + c2
g(x) dx が成り立つ．以下の定積分を求めな
a
a
さい．
∫
a
∫
2
(x − x + 1) dx
2
(1)
−1
∫
1
(3)
2
(
1
1
x
1
+
+
+
x 1 + x x2
1 + x2
(2)
1
(
e−x + e2x +
0
ex
1 + ex
)
∫
dx
(
cos x +
π
4
(4)
0
1
+ cos2 x
cos2 x
)
dx
)
dx
∫ a
9. f (−x) = −f (x) を満たす奇関数の場合，
f (x) dx = 0，f (−x) = f (x) を満たす偶関数につ
−a
∫ a
∫ a
いては
f (x) dx = 2
f (x) dx が成り立つ．次の定積分を求めなさい．
−a
∫
0
∫
2
5
(1)
99
(x + x + x
−2
+ sin x + 2) dx
π
3
(2)
−π
3
(sin x cos x + x3 cos x + x2 ) dx

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