微分幾何課題 No.1 (2015.9.24)

微分幾何課題 No.1
(2015.9.24)
1.1 次の関数の導関数を求めなさい．
(1) cos 3x
(2) sin x2
(3) tan2 x
(5) sinh x
(6) tanh x
(7) ex
(9)
1−x2
1+x2
(10)
√
1 − x2
2
(11)
√
1 + e2x
(4) cosh x
(8) log(2x + 1)
(12)
√
2 + cos x
√
1.2 (1) ベクトル a = (1/2, 3/2) と b = (2, 1) の大きさ（ノルム）を求めなさい．
√
(2) u = (2, 3) に対して次のベクトルの方向へ（正）射影したベクトルをそれぞれ求めなさい．
√
a = (1/2, 3/2),
b = (1, −1).
1.3 ベクトル a = (a1 , a2 ) と b = (b1 , b2 ) の外積を a × b = a1 b2 − a2 b1 で定義する．a//b のとき，
a × b の値を答えなさい．
1.4 a = (2, 1), b = (−1, 1) とする．これらのベクトルの組 {a, b} から正規直交基底 {e1 , e2 } を作り
なさい．ただし，a//e1 , かつ a × b と e1 × e2 の符号が同じようになるようにしなさい．
1.5 次の直線 x(t) のパラメータ表示を求めなさい．
(1) t = 0 で (1, 2) を通り，方向ベクトルが (2, −1) の直線
(2) (−1, 1) と (2, 2) を通る直線
1.6 a = (−1, 2) とする．
(1) a を法線ベクトルにもち原点を通る直線の方程式を求めなさい．
(2) a を法線ベクトルにもち点 (2, −1) を通る直線の方程式を求めなさい．
1.7 速度 (2, 1) で等速直線運動をしている物体が，時刻 t = 1 で (1, −1) を通った．この物体の時刻
t での位置 r(t) を求めなさい．
1.8 次の曲線の与えられた点における単位接線ベクトル t と単位法線ベクトル n を求めなさい．
(1) x(t) = (2t + 1, t2 )
(3) x(t) = (cos t, sin 3t)
(t = 2)
(t = π/4)
(2) x(t) = (2 cos t − 1, 2 sin t)
(t = π/3)

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