複素数値関数の微分 · 積分 >

2009 年度「数学 8」
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実変数 t の複素数値関数 z(t) に対して，導関数を
dz
z(t + h) − z(t)
d
= z(t) = lim
h→0
dt
dt
h
d
Z(t) = z(t) であるとき, 不定積分と定積分を
dt
Z
Z
z(t)dt = Z(t) + C
(C は任意の複素数定数) ,
と定義する。また
a
b
b
z(t)dt = [Z(t)]a = Z(b) − Z(a)
で定義する。この定義から，次の性質がわかる。
例1
Ⅰ.
d
d
d
(z1 (t) + z2 (t)) = z1 (t) + z2 (t) ,
dt
dt
dt
Ⅱ.
d
d
(Kz(t)) = K z(t) ,
dt
dt
Z
Z
Kz(t)dt = K
(z1 (t) + z2 (t))dt =
Z
z(t)dt
Z
z1 (t)dt +
Z
z2 (t)dt
(K は任意の複素数定数)
z(t) が実数値関数 x(t), y(t) によって z(t) = x(t) + iy(t) と表されているときは，
次式が成り立つ。
d
d
d
d
z(t) = {x(t) + iy(t)} = x(t) + i y(t) ,
dt
dt
dt
dt
例2
Z
{x(t) + iy(t)}dt =
Z
x(t)dt + i
実数定数 α, β に対し，e(α+βi)t の導関数は
d (α+βi)t
d
d
= eαt cos(βt) + i eαt sin(βt)
e
dt
dt
dt
= αeαt cos(βt) − βeαt sin(βt) + i{αeαt sin(βt) + βeαt cos(βt)}
= eαt {(α + βi) cos(βt) + i(α + βi) sin(βt)} = (α + βi)e(α+βi)t
例3
例 2 と性質Ⅱより
例4
問
1
e(α+βi)t
α + βi
¾
= e(α+βi)t
Z
Z
e(α+βi)t dt =
次の定積分を求めよ。(ここで α, β と b は α2 + β 2 6= 0 , b > 0 なる定数である)
b
e(−2+3i)t dt
0
(2)
½
1
e(α+βi)t + C
α + βi
¸1
∙
Z 1
¢
1
1 ¡ 2+3i
(2+3i)t
(2+3i)t
e
e
dt =
=
−1
e
2
+
3i
2
+
3i
0
0
よって
(1)
Z
d
dt
0
−1
e(α+βi)t dt
Z
y(t)dt

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