情報・通信演習1(第2週目): フーリエ級数とその応用

情報・通信演習1(第2週目):
フーリエ級数とその応用
情報・通信工学科
助教竹内啓悟
1
概要
1. 前回のレポートについて
2. フーリエ級数の基礎
3. フーリエ級数の応用
2
課題５
𝒂=
𝑁
𝑛=1 𝑎𝑛 𝒆𝑛 とおく。
𝒂, 𝒆𝑛 に𝒂を代入すると、
𝑁
𝒂, 𝒆𝑛 =
𝑎𝑛′ 𝒆𝑛′ , 𝒆𝑛
𝑛′ =1
𝑁
𝑛′ =1 𝑎𝑛′ (𝑒𝑛′ , 𝑒𝑛 )
𝑁
𝑛′ =1 𝑎𝑛′ 𝛿𝑛′ ,𝑛
=
=
= 𝑎𝑛
課題３より
課題４より
3
概要
1. 前回のレポートについて
2. フーリエ級数の基礎
3. フーリエ級数の応用
4
関数空間
• 有限区間[−𝑇/2, 𝑇/2]上の絶対二乗可積分関数全体が
なす空間𝐿2 [− 𝑇 2 , 𝑇 2]はベクトル空間である。
• 関数空間𝐿2 [− 𝑇 2 , 𝑇 2]の標準内積
𝑇/2
𝑓, 𝑔 =
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥,
−𝑇/2
𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿2 [− 𝑇 2 , 𝑇 2]
• 関数空間𝐿2 [− 𝑇 2 , 𝑇 2]の次元は(加算)無限大である。
• 無限個は何個か？
5
完全性
• 正規直交系{𝜑𝑛 ∈ 𝐿2 [− 𝑇 2 , 𝑇 2]}は完全である。
ある関数𝑓 ∈ 𝐿2 [− 𝑇 2 , 𝑇 2]に対して、 𝑓, 𝜑𝑛 = 0が
すべてのnに関して成立するならば、𝑓 = 0。
• 完全な正規直交系を正規直交基底と呼ぶ。
• 注意:欠員がある正規直交系は完全ではない。
6
一般化フーリエ級数展開
関数空間𝐿2 [− 𝑇 2 , 𝑇 2]の任意の元(関数)𝑓は
∞
𝑓(𝑥) =
(𝑓, 𝜑𝑛 )𝜑𝑛 (𝑥)
𝑛=1
と一意に表現できる。
ただし、{𝜑𝑛 }は関数空間の正規直交基底である。
注意:直交基底として三角関数系を取ったものを
フーリエ級数展開と呼ぶ。
7
フーリエ級数展開
𝑓(𝑥): [− 𝑇 2 , 𝑇 2]上で区分的に連続かつ区分的になめらか
• フーリエ級数
∞
𝑎0
𝑓 𝑥 =
+
2
𝑎𝑛 cos 2𝜋𝑛𝑥/𝑇 + 𝑏𝑛 sin 2𝜋𝑛𝑥/𝑇
𝑛=1
• フーリエ係数
2
𝑎𝑛 =
𝑇
2
𝑏𝑛 =
𝑇
𝑇/2
𝑓(𝑥) cos 2𝜋𝑛𝑥/𝑇 𝑑𝑥
−𝑇/2
𝑇/2
𝑓(𝑥) sin 2𝜋𝑛𝑥/𝑇 𝑑𝑥
−𝑇/2
8
不連続点でのふるまい
• 不連続点𝑥での値
𝑓 𝑥 + 0 + 𝑓(𝑥 − 0) 𝑎0
=
+
2
2
∞
𝑎𝑛 cos 2𝜋𝑛𝑥/𝑇 + 𝑏𝑛 sin 2𝜋𝑛𝑥/𝑇
𝑛=1
• 不連続点近傍でのふるまい
9
複素フーリエ級数
𝑓(𝑥): [− 𝑇 2 , 𝑇 2]上で区分的に連続かつ区分的になめらか
• 複素フーリエ級数
∞
𝑐𝑛 𝑒 2𝜋𝑗𝑛𝑥/𝑇
𝑓 𝑥 =
𝑛=−∞
• フーリエ係数
1
𝑐𝑛 =
𝑇
𝑇/2
𝑓(𝑥)𝑒 −2𝜋𝑗𝑛𝑥/𝑇 𝑑𝑥
−𝑇/2
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概要
1. 前回のレポートについて
2. フーリエ級数の基礎
3. フーリエ級数の応用
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奇関数のフーリエ係数
奇関数：𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥)
𝑎0
𝑓 𝑥 =
+
2
∞
𝑎𝑛 cos 2𝜋𝑛𝑥/𝑇 + 𝑏𝑛 sin 2𝜋𝑛𝑥/𝑇
𝑛=1
両辺の𝑥に−𝑥を代入すると
∞
𝑎0
𝑓 −𝑥 =
+
𝑎𝑛 cos 2𝜋𝑛𝑥/𝑇 − 𝑏𝑛 sin 2𝜋𝑛𝑥/𝑇
2
𝑛=1
奇関数の性質𝑓 𝑥 + 𝑓 −𝑥 = 0を使うと、
∞
𝑎0 + 2
𝑎𝑛 cos 2𝜋𝑛𝑥/𝑇 = 0
𝑛=1
𝑥は任意だから、𝑎𝑛 = 0 (𝑛 = 0,1, … )
12
無限級数の計算
次の等式を証明せよ。
∞
𝑘=1
(−1)𝑘−1 𝜋
=
2𝑘 − 1
4
課題1(a)の関数をフーリエ級数展開すると、
∞
𝑓(𝑥) =
𝑘=1
4
2𝜋 2𝑘 − 1 𝑥
sin
(2𝑘 − 1)𝜋
𝑇
上式を𝑥 = 𝑇/4で評価して、
∞
1=
𝑘=1
4
sin
(2𝑘 − 1)𝜋
2𝑘 − 1 𝜋
4
=
2
𝜋
∞
𝑘=1
(−1)𝑘−1
2𝑘 − 1
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