2014年度後期応用数学4 確認問題 14（解答） 14．ストークスの定理

2014 年度後期応用数学４確認問題 14（解答）
2015 年 1 月 23 日配布
作成者：若杉勇太
学籍番号：
氏名：
14．ストークスの定理
∫
A(x, y, z) · dr を
問 14.1 A(x, y, z) = xi + yj + zk とし，C を境界付き曲面 S の境界とする．このとき
C
求めよ．
[解] div A = 0 より，
∫
∫
A(x, y, z) · dr =
C
rot A · ndS = 0.
S
問 14.2 a > 0 とし，F (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − a2 = 0 (z ≥ 0) で与えられる半球面 S を考える．S の法
線ベクトルは球面の外側を向いているとする．また
S の境界を C とおく．A = −yi + xj とする．このとき
∫
(rot A) · ndS を求めよ．
S
[解] C は r = r(t) = (a cos t, a sin t, 0) (0 ≤ t ≤ 2π) とパラメータ表示できるので，r ′ (t) =
(−a sin t, a cos t, 0) と A(r)(t) = −a sin ti + a cos tj およびストークスの定理より，
∫
∫
∫
(rot A) · ndS =
S
C
∫
2π
A · dr =
(−a sin t, a cos t, 0) · (−a sin t, a cos t, 0)dt =
0
a2 dt = 2πa2 .
0
1
2π
問 14.3 別紙「応用数学４演習問題」から２問選んで解いてください．
2

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