z変換 • アナログ信号x(t)の周波数特性を表すラプラス変換は ∞ X ( s) = − st x ( t ) e dt ∫ −∞ で与えられる(s=σ+jω)。離散信号x[n]に対しては ∞ X ( s ) = ∑ x[n]e − nsT n =0 となる。ここでz=esＴと置くと、 ∞ X ( s ) = ∑ x[n]z − n n =0 これはzの関数であるから ∞ X ( z ) = ∑ x[n]z − n n =0 と書ける。ここでz=ejωＴと考える。 これがz変換である。 • z変換の形∞ ∑ x[n]z n =0 −n ∞ = ∑ x[n]e − jωnT n =0 は既に出てきたフーリエ変換の形状と同一で ある。 • 上式は因果性がある場合で片側z変換と呼ば れる。因果性がない場合（両側z 変換）は次 のようになる。 X ( z) = ∞ ∑ x[n]z n = −∞ −n • z 変換の表記法として X ( z ) = Z ( x[n]) が用いられる。 • 注） z 変換は右辺が収束するときにのみ定義 されるが、ここでは深く扱わない。 • 例題 インパルス関数δ[n]のz 変換を求めよ。 • 例題 ユニットステップ関数u[n]のz変換を求めよ。 • 例題 次の信号をz変換せよ x[n]=δ[n]+2δ[n-1]+3δ[n-2]+δ[n-3] • 基本的なz変換 x[n] X(z) δ[n] 1 u[n] z z −1 Kw n Kz z−w e − anT z z − e − aT Tz ( z − 1) 2 r[nT ] = nT （ランプ関数） sin ωnT x sin ωT z 2 − 2 z cos ωT + 1 cos ωnT z ( z − cos ωT ) z 2 − 2 z cos ωT + 1 • 例題 ランプ関数r[nT]=nTのz変換を導出しなさい。
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