8 テイラー展開の応用

微積分学及演習 I のおと
建設 A［金 1 · 2 限（海老原）］
第８講義 (2015/6/5)
対数関数のマクローリン展開
8
f (x) = log(1 + x) (x > −1) に対して，
テイラー展開の応用
教科書 pp.56 – 60
■初等関数への応用
x = 0 のまわりのテイラー
f (r) (x) = (−1)r−1
f (0) = log 1 = 0
ある数として，次のように表される：
f (x) = f (0) + f (1) (0)x +
f (r) (0) = (−1)r−1 (r − 1)!
f (3) (0)
x2 +
2!
3!
f (n−1) (0) n−1 f (n) (θ x) n
x +
x
+···+
(n − 1)!
n!
x3
より， f (r) (0) = e0 = 1 (r = 0, 1, 2, . . . , n) よって，
x2
xn−1
eθ x n
ex = 1 + x + + · · · +
+
x
2!
(n − 1)! n!
(0 < θ < 1)
(r = 1, 2, 3, . . . , n − 1)
よって，
x2 x3 x4
xn−1
+ − + · · · + (−1)n−2
2
3
4
n−1
(−1)n−1 ( x )n
+
(0 < θ < 1)
n
1+θx
log(1 + x) = x −
指数関数のマクローリン展開
f (x) = e x に対して，f (r) (x) = e x (r = 0, 1, 2, . . . , n)
(r = 1, 2, 3, . . . , n)
より，
展開（マクローリン展開）は，θ を 0 と 1 の間の
f (2) (0)
(r − 1)!
(1 + x)r
べき関数のマクローリン展開
f (x) = (1 + x)α (x > −1) に対して，



0
(r)
f (x) = 

α(α − 1) · · · (α − r + 1) (1 + x)α−r
(r > α)
(
)
その他
より，
正弦関数のマクローリン展開
(
rπ )
f (x) = sin x に対して， f (r) (x) = sin x +
2
(r = 0, 1, 2, . . . , 2n) より，
rπ
f (r) (0) = sin
 2


(−1)k
=

0
f (0) = 1



(r > α)
0
f (r) (0) = 
α(α − 1) · · · (α − r + 1) (r = 1, 2, . . . , n)

よって，
(r = 2k + 1)
(k = 0, 1, 2, . . . , n)
(r = 2k)
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
x +
x +···
2!
3!
α(α − 1) · · · (α − n + 2) n−1
+···+
x
(n − 1)!
α(α − 1) · · · (α − n + 1) (1 + θ x)α−n n
+
x
(0 < θ < 1)
n!
(1 + x)α = 1 + αx +
よって，
x3
x2n−1
+ · · · + (−1)n−1
3!
(2n − 1)!
sin(θ x) 2n
+ (−1)n
x
(0 < θ < 1)
(2n)!
sin x = x −
余弦関数のマクローリン展開
(
rπ )
f (x) = cos x に対して， f (r) (x) = cos x +
2
(r = 0, 1, 2, . . . , 2n + 1) より，
rπ
f (r) (0) = cos
 2


(−1)k
=

0
ここで，二項係数 α Cr を
( )
( )
α(α − 1) · · · (α − r + 1)
α
α
B 1,
B
0
r
r!
のように一般化すると，
( )
α
f (x) = r!
(1 + x)α−r (r = 1, 2, . . . , n)
r
( )
α
(r)
(r = 0, 1, . . . , n − 1)
∴ f (0) = r!
r
(r)
(r = 2k)
(k = 0, 1, 2, . . . , n)
(r = 2k + 1)
となるので，
よって，
( ) ( )
( )
(
)
α
α
α 2
α
(1 + x) =
+
x+
x +···+
xn−1
0
1
2
n−1
( )
α
+
(1 + θ x)α−n xn (0 < θ < 1)
n
α
x2
x2n
+ · · · + (−1)n
2!
(2n)!
sin(θ
x)
+ (−1)n+1
x2n+1 (0 < θ < 1)
(2n + 1)!
cos x = 1 −
(r = 1, 2, . . . )
1
1
1
~ α = − の場合， f (x) = (1 + x)− 2 = √
2
1+ x
(
)
− 1 (− 1 − 1) · · · (− 12 − r + 1)
− 12
= 2 2
r
r!
− 12 (− 32 ) · · · (− 2r−1
2 )
r!
(−1)r (2r − 1)(2r − 3) · · · 3 · 1
=
r!
=
ここで，
(2r − 1)(2r − 3) · · · 3 · 1
(2r)(2r − 1)(2r − 2)(2r − 3) · · · 4 · 3 · 2 · 1
=
(2r)(2r − 2) · · · 4 · 2
(2r)!
= r
2 r!
とかけることに注意すれば，
(
)
(−1)r (2r)!
− 12
=
r
2r (r!)2
となる．よって，
1
3·1
(1 + x)α = 1 − x + 2 x2 + · · ·
2
2 2!
n−1
(−1) (2n − 3)(2n − 5) · · · 3 · 1 n−1
x
+
2n−1 (n − 1)!
1
(−1)n (2n − 1)(2n − 3) · · · 3 · 1
+
(1 + θ x)− 2 −n xn
n
2 n!
n−1
r
∑
(−1) (2r)! r
=
x
2r (r!)2
r=0
+
(−1)n (2n)!
xn
2n (n!)2 (1 + θ x)n+ 12
(0 < θ < 1)

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