問題 - H.Yagyu Web

数学α 夏休み明け試験（2014.9.9. 14:50 ∼ 15:50 実施試験時間 60 分）
• この試験で獲得した点数は，２学期末成績にボーナス点として加算されます．
（中間試験 (50) ＋期末試験 (50) ＋ α (20)=２学期成績 (上限 100 点)）
• 答のみを採点するので，計算間違い等に十分注意しましょう．なお，質問は一切受け付けません．
高校１年組番氏名 1. （２点）
f (x), g(x) を x の多項式とする．f (x), g(x) を x2 + x + 1 で割ったときの余りはそれぞれ x + 3, 2x − 1
である．
(1) f (x) + g(x) を x2 + x + 1 で割ったときの余りを求めよ．
(2) f (x)g(x) を x2 + x + 1 で割ったときの余りを求めよ．
答
(1)
(2)
答
2. （２点）
(
√ )
−3
+
17
f (x) = x4 + 4x3 + 6x2 + 15x − 7 とする．f
を求めよ．
2
3. （２点）
2 次方程式 x2 + kx + 15 = 0 の解が 2 解とも整数となるような定数 k をすべて求めよ．
答
k=
4. （２点）
√
関数 f (θ) = 2 3 sin θ cos θ − 2 sin2 θ + 2 (0 5 θ < 2π) の最大値，およびそのときの θ の値を求めよ．
答
最大値
そのときの θ
5. （２点）
101 で割った余りが 99，99 で割った余りが 97 であるような 1 以上 9999 以下の整数を求めよ．
答
6. （８点）
a を定数とする．x の 2 次関数
f (x) = x2 − 2ax − a2 + 4a + 1
について，以下の問いに答えよ．なお，(Ⅰ) と (Ⅱ) は独立した問題である．
(Ⅰ) y = f (x) のグラフを C とする．
(1) C の頂点の座標を a を用いて表せ．
(2) C が x 軸と共有点を持たないような定数 a の値の範囲を求めよ．
(3) C が x 軸と異なる 2 点で交わり，かつ，2 つの交点を両端とする線分の長さが 2 であるような定数
a の値を求めよ．
答
(1)
(2)
(3)
(Ⅱ) −1 5 x 5 1 のときの f (x) の最大値を M (a)，最小値を m(a) とする．
(1) M (a) を，a の範囲によって場合分けして求めよ．
(2) m(a) を，a の範囲によって場合分けして求めよ．
(3) M (a) − m(a) = 3 となるような a の値を求めよ．
答
(1) のとき
(2) のとき
(3) a =
, のとき , のとき , のとき 7. （２点）
図のような正六角形の形をした紙 ABCDEF と，その内部の点 I がある．点 A を点 I と重ねるようにこ
の紙を折りたたみ，またもとに戻すと，この紙はその折れ線によって２つの図形に分かれる．そのうち
小さい方の図形の面積は，もとの正六角形の面積の何倍か．
（麻布中 2014 年度入試問題）
.D
.E
.I
.
.C
.B
.F
.A
答
（問題はこれで終わりである．
）

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