年 番号 1 x3 + y3 + z3 ¡ 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 ¡ xy ¡ yz ¡ zx) であることを用いて,次の問いに答えよ. (1) a3 + b3 + 3ab ¡ 1 を因数分解せよ. (2) a + b + c = 1,ab + bc + ca = ¡1,abc = 2 のとき,a2 + b2 + c2 の値を求めよ. (3) (2) のとき,a3 + b3 + c3 の値を求めよ. 2 次の問いに答えよ. (1) (x + 2y + 3z)6 の展開式における x2 y2 z2 の係数を求めよ. (2) (2x ¡ y + 4z)8 の展開式における x2 yz5 の係数を求めよ. 7 (3) $2x ¡ y + 3 氏名 2 < の展開式における xy2 の係数を求めよ. y (1 + x)n の展開式を利用して,3117 を 900 で割ったときの余りを求めよ. -1- 4 abc Ë 0; a + b + c = 0 のとき,式 a# 1 1 1 1 1 1 ; + c# + ; + b# + + ; c c a a b b の値を求めよ. 5 次の等式が x; y についての恒等式となるように,定数 a; b; c の値を定めよ. (1) x2 + axy + by + c = (x + 1)(x + 2y + c) -2- 6 a + b + c = 0 のとき,次の等式を証明せよ. (1) a2 + b2 + 2ab ¡ 2bc ¡ 2ca = 3c2 (2) a3 + b3 + c3 = 3abc 7 次の問いに答えよ. (1) x > 0; y > 0; x + y = 1 のとき,xy の最大値を求めよ.また,そのときの x; y の値を求めよ. a2 ¡ a + 2 (2) a > 1 のとき, の最小値を求めよ.また,そのときの a の値を求めよ. a¡1 8 (1) 次の問いに答えよ. c2 ¡ d2 a c a2 ¡ b2 = が成り立つことを示せ. = のとき, 2 b d a + b2 c2 + d2 (2) x : y : z = (b ¡ c) : (c ¡ a) : (a ¡ b) のとき,ax + by + cz = 0 を示せ. -3- (3) 9 a+b b+c c+a = が成り立つとき,a + b + c = 0 を示せ. = c¡a b¡c a¡b ®; ¯ を虚数とする. (1) ®; ¯ が互いに共役であるとき,® + ¯,®¯ はともに実数であることを示せ. (2) ® + ¯,®¯ がともに実数ならば,®; ¯ は互いに共役であることを示せ. 10 整式 P(x) を x + 2 で割ると余りは ¡1 で,(x ¡ 1)2 で割ると余りは 12x ¡ 4 である.P(x) を (x + 2)(x ¡ 1)2 で割ったときの余りを求めよ. -4-
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