3xyz = (x + y + z)(x 2 + y2 + z2 ¡ xy ¡ yz ¡ zx)であること

年番号
1
x3 + y3 + z3 ¡ 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 ¡ xy ¡ yz ¡ zx) であることを用いて，次の問いに答えよ．
(1) a3 + b3 + 3ab ¡ 1 を因数分解せよ．
(2) a + b + c = 1，ab + bc + ca = ¡1，abc = 2 のとき，a2 + b2 + c2 の値を求めよ．
(3) (2) のとき，a3 + b3 + c3 の値を求めよ．
2
次の問いに答えよ．
(1) (x + 2y + 3z)6 の展開式における x2 y2 z2 の係数を求めよ．
(2) (2x ¡ y + 4z)8 の展開式における x2 yz5 の係数を求めよ．
7
(3) $2x ¡ y +
3
氏名
2
< の展開式における xy2 の係数を求めよ．
y
(1 + x)n の展開式を利用して，3117 を 900 で割ったときの余りを求めよ．
-1-
4
abc Ë 0; a + b + c = 0 のとき，式
a#
1
1
1
1
1
1
; + c#
+ ; + b# +
+ ;
c
c
a
a
b
b
の値を求めよ．
5
次の等式が x; y についての恒等式となるように，定数 a; b; c の値を定めよ．
(1) x2 + axy + by + c = (x + 1)(x + 2y + c)
-2-
6
a + b + c = 0 のとき，次の等式を証明せよ．
(1) a2 + b2 + 2ab ¡ 2bc ¡ 2ca = 3c2
(2) a3 + b3 + c3 = 3abc
7
次の問いに答えよ．
(1) x > 0; y > 0; x + y = 1 のとき，xy の最大値を求めよ．また，そのときの x; y の値を求めよ．
a2 ¡ a + 2
(2) a > 1 のとき，
の最小値を求めよ．また，そのときの a の値を求めよ．
a¡1
8
(1)
次の問いに答えよ．
c2 ¡ d2
a
c
a2 ¡ b2
=
が成り立つことを示せ．
=
のとき， 2
b
d
a + b2
c2 + d2
(2) x : y : z = (b ¡ c) : (c ¡ a) : (a ¡ b) のとき，ax + by + cz = 0 を示せ．
-3-
(3)
9
a+b
b+c
c+a
=
が成り立つとき，a + b + c = 0 を示せ．
=
c¡a
b¡c
a¡b
®; ¯ を虚数とする．
(1) ®; ¯ が互いに共役であるとき，® + ¯，®¯ はともに実数であることを示せ．
(2) ® + ¯，®¯ がともに実数ならば，®; ¯ は互いに共役であることを示せ．
10 整式 P(x) を x + 2 で割ると余りは ¡1 で，(x ¡ 1)2 で割ると余りは 12x ¡ 4 である．P(x) を (x + 2)(x ¡ 1)2 で割ったときの余りを求めよ．
-4-

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