演習問題11+答え

基礎数学 1,A1 演習問題 11
年学籍番号氏名
戦闘開始時点での戦闘員の数を x0 と y0 とし、時刻 t での生存している戦闘員の
数をそれぞれ x = x(t) と y = y(t) とする。
dx
dy
1.
= Ay,
= A, A < 0, とする。y0 = 100 とする。x = 0 のとき y = 0 になっ
dt
dt
たという、このときの x0 の値を求めよ。また x = 0 のとき y = 80 とする。この
ときの x0 の値を求めよ。
dx
dy
−y
= Ay − Ay = 0
dt
dt
これより
d
y2
y2
(x − ) = 0 となり x −
= C また t = 0 のとき x = x0 , y = y0 で
dt
2
2
2
y
あるから、x0 − 0 = C となり
2
y02 − y 2 = 2(x0 − x)
x = 0, y = 0, y0 = 100 を代入し x0 を求めると、x0 = 5000
x = 0, y = 80, y0 = 100 を代入し x0 を求めると、x0 = 1800
√
x0 = 20000, y0 = 500 とすると、x = 0 のとき y = 21000 ≑ 458
2.
dx
dy
= Ay,
= Bx, A, B < 0, とする。
dt
dt
(1) このときはランチェスターの二次法則
x20 − x(t)2 = E(y02 − y(t)2 )
が適用されることを示せ。
dy
dx
= ABxy − ABxy = 0 より
Bx − Ay
dt
dt
( 2
)
d
y2
x
B −A
= 0 となり
dt
2
2
Bx2 − Ay 2 = C
x = x0 のとき y = y0 であるから、Bx20 − Ay02 = C
これより Bx20 − Ay02 = Bx2 − Ay 2 となり、E = A/B とおくと、
x20 − x(t)2 = E(y02 − y(t)2 )
(2) E = 1, x0 = 120, y0 = 80 とする。y は x を 3 分割することに成功し、まず
x の 1/3 と戦い滅ぼし、次に残りの半分と戦い滅ぼし、最後に残りと戦ったする。
x(t) = 0 のときの y(t) の値を求めよ。
最初の戦闘では x0 = 40 と y0 = 80 が戦った。このとき x の 40 が全
滅したとき 402 − 02 = 802 − y 2 より y 2 = 6400 − 1600 = 4800 となり、
√
y の戦闘員は y = 4800
次にこの戦闘員で x の 40 と戦ったとすると、402 = 4800 − y 2 より x
√
の 40 が全滅したときの y の戦闘員の数は y = 3200
さらに残りの 40 と戦い x が全滅したとき y の戦闘員の数は
√
ｙ = 1600 = 40

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