y = (x ¡ 29) ¡ 3600

年番号
1
3
次の問いに答えよ．
氏名
x の関数 y = ¡3x2 + 4ax ¡ a の最大値を M とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，a
は定数であり，x は 0 5 x 5 3 の範囲の変数である．
(1) 座標平面上の放物線
(1) a = 3 のとき，M の値を求めなさい．
2
y = (x ¡ 29) ¡ 3600
(2) 0 < a < 3 のとき，M を a を用いて表しなさい．
と x 軸の共有点の x 座標は
ア
と
イ
である．ただし
ア
<
イ
とする．
（愛知学院大学 2015 ）
(2) x + y = 1 かつ 0 < x < 1 を満たす実数 x; y に対して
1
1
A=
+
;
x
y
4
1
1
B = #1 + 2 ; $1 + 2 <
x
y
a > 0 とし，2 次関数 f(x) = x2 ¡ 2ax + 2a (0 5 x 5 2) の最小値を m(a) とする．このと
き，m(a) の最大値と，そのときの a の値を求めよ．
（富山県立大学 2015 ）
とおく．
‘ A のとり得る値の最小値は
ウ
である．
5
’ すべての x; y に対して
2 次関数：y = 4x2 + 2 と直線：y = 4x + k について，以下の各問に答えよ．
(1) この 2 次関数と直線がただ一つの共有点をもつときの k の値を求めよ．
B=
エ
2
A +
オ
A+
カ
(2) k = 3 のとき，この 2 次関数と直線の共有点の x 座標を求めよ．
（釧路公立大学 2015 ）
が成り立つ．
“ B のとり得る値の最小値は
キ
である．
（上智大学 2015 ）
2
定義域を ¡2 5 x 5 3 とする放物線 y = ax2 + 2ax + b がある．ただし，その形は下に凸であ
るとする．以下の問に答えよ．
6
関数 y = ¡ax2 + 4ax + b (a > 0) ÝÝ1 について次の各問の空欄に当てはまる最も適切な
数値を記入せよ．
(1) a = 1; b = 8 とする．関数 1 の最大値は 18
C
の x 座標は 19 § 20
21 である．
(2) 1 のグラフが x 軸に接するとき a = ¡
22
23
である．また 1 のグラフと x 軸との交点
b である．
(1) この関数の最大値が 6，最小値が ¡2 であるとき，定数 a; b の値を求めよ．
(3) 関数 1 の最大値が 5 でそのグラフが点 (3; 2) を通るとき a =
(2) (1) で求めた放物線を原点に関して対称移動したあとの放物線の式を求めよ．
(4) 2 5 x 5 3 における関数 1 の最大値が 10，最小値が 8 であるとき a =
（北星学園大学 2015 ）
24
，b = ¡
26
25
，b =
である．
27
である．
（広島経済大学 2015 ）
7
袋の中に最初に赤玉 2 個と青玉 1 個が入っている．次の操作を繰り返し行う．
（操作）袋から 1 個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉 1 個を袋に入れ，青玉な
らば代わりに赤玉 1 個を袋に入れる．袋に入っている 3 個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を
1 枚もらう．
9
n を 2 以上の自然数とし，1 から n までの自然数 k に対して，番号 k をつけたカードをそれぞれ
k 枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から 2 枚のカードを同時に引くとき，次の問い
に答えよ．
(1) 用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2) 引いたカード 2 枚の番号が両方とも k である確率を n と k の式で表せ．
(1) 2 回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ．
(3) 引いたカード 2 枚の番号が一致する確率を n の式で表せ．
(2) 奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ．
(4) 引いたカード 2 枚の番号が異なっている確率を pn とする．不等式 pn = 0:9 を満たす最小の自
(3) 8 回目の操作ではじめて硬貨をもらう確率を求めよ．
然数 n の値を求めよ．
(4) 8 回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど 1 枚である確率を求めよ．
（岡山大学 2015 ）
（九州大学 2015 ）
10 n を 2 以上の自然数とし，1 から n までの自然数 k に対して，番号 k をつけたカードをそれぞれ
k 枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から 2 枚のカードを同時に引くとき，次の問い
に答えよ．
8
m; n を自然数とする．次の問いに答えよ．
(1) 用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(1) m = 2，n = 2 とする．異なる m 種類の文字から重複を許して n 個を選び，1 列に並べる．こ
のとき，ちょうど 2 種類の文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(2) 引いたカード 2 枚の番号が両方とも k である確率を n と k の式で表せ．
(3) 引いたカード 2 枚の番号が一致する確率を n の式で表せ．
(2) n = 3 とする．3 種類の文字 a; b; c から重複を許して n 個を選び，1 列に並べる．このとき
a; b; c すべての文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(4) 引いたカード 2 枚の番号が連続している確率（すなわち，2 つの番号の差の絶対値が 1 である
確率）を n の式で表せ．
(3) n = 3 とする．n 人を最大 3 組までグループ分けする．このときできたグループ数が 2 である
（岡山大学 2015 ）
確率 pn を求めよ．ただし，どのグループ分けも同様に確からしいとする．
たとえば，n = 3 のとき，A，B，C の 3 人をグループ分けする方法は
f(A; B; C)g;
f(A; B); (C)g;
11 サイコロを 3 回投げて出た目の数を順に p1 ，p2 ，p3 とし，x の 2 次方程式
f(A; C); (B)g
2p1 x2 + p2 x + 2p3 = 0
f(B; C); (A)g;
f(A); (B); (C)g
3
である．
の 5 通りであるので，p3 =
5
1
以下となるような n の範囲を求めよ．
(4) (3) の確率 pn が
3
ÝÝ (¤)
を考える．
(1) 方程式 (¤) が実数解をもつ確率を求めよ．
（広島大学 2015 ）
(2) 方程式 (¤) が実数でない 2 つの複素数解 ®; ¯ をもち，かつ ®¯ = 1 が成り立つ確率を求めよ．
(3) 方程式 (¤) が実数でない 2 つの複素数解 ®; ¯ をもち，かつ ®¯ < 1 が成り立つ確率を求めよ．
（東北大学 2015 ）
12 百の位が X で十の位が Y で一の位が Z である三けたの数を (XYZ) で表すことにする．サイ
コロを投げるとき，1 から 6 までの 6 通りのうちいずれかの目が出て，どの目が出ることも同様
に確からしいとする．このサイコロを 3 回投げ，出た目の数を順に A; B; C とする．このとき
下記の設問に答えよ．
(1) (ABC) が 4 の倍数になる確率を求めよ．
(2) (ABC)，(ACB)，(BAC)，(BCA)，(CAB)，(CBA) のいずれもが 4 の倍数にならない確
率を求めよ．
（埼玉大学 2015 ）

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