灘高72年(全)

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灘高　７２年　（すべて類題）
１
(1)　２次方程式
(2)　３直線　x2 - 3 x - 1 = 0
y =ax-2
の負の根を
...　①　a
とするとき、
y = 2x+3
7
4a 2 - 10a - 7
...　②　があって、①、②の交点と、①、③の交点が一致するとき、
a
の値を求めよ。
y = - 5 x + 10
7
...　③
の値はいくらか。
(3)　図のように、１つの直線にそれぞれＡ、Ｂで接し、かつ互いに外接する２つの円
O , O¢
があって、
O O¢ ＝８ｃｍ、∠ O O¢B ＝６０°である。
２円の半径はそれぞれいくらか。
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(4)　sin
x + cos x = 2
のとき、
sin x cos x
および
sin 3 x + cos3 x
の値を求めよ。
２
容器Ａ、Ｂに異なる濃度の食塩水がそれぞれ１８００ｇ、１２００ｇ入っている。
まずＡからＢへ３００ｇだけ移してかき混ぜ、次にＢからＡに５００ｇ移してかき混ぜると、Ａには４％の食塩水ができる。
また、初めのＡ、Ｂの食塩水を全部いっしょにして混ぜると、５％の食塩水ができる。
初めＡ、Ｂに入っていた食塩水の濃度を求めよ。
３
ＡＢ＝ＡＣ＝５ｃｍ、ＢＣ＝６ｃｍである三角形が円に内接している。
この円の弦ＡＰの延長と底辺ＢＣの延長との交点をＱとする。
(1)　∠ＡＣＢ＝∠ＣＰＱとなることを証明せよ。
(2)　△ＡＣＰに相似である三角形を見出し、相似となる理由を説明せよ。
(3)　ＡＰ：ＰＱ＝１：３であるとき、ＡＱの長さを求めよ。
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灘高　７２年　（すべて類題）
４
１辺の長さが４ｃｍの正方形ＡＢＣＤから、１辺の長さが２ｃｍの正方形ＡＰＱＲを
とり去った斜線をつけた図形ＤＲＱＰＢＣがある。この図形をｆとする。
長さが
2 ｃｍの線分ＸＹが直線ＡＣ上を毎秒 2 ｃｍの速さで右上の方へ移動する。
その線分ＸＹの両端Ｘ、Ｙから正方形の２つの辺に平行な直線を引いて得られる
Ｌ形の図形をｇとする。
(1)　ＸがＡにきたときを時間
t
の始めとして、
ＹがＣにくるまでの５秒間における図形ｆと図形ｇの共通部分の面積Ｓを、
つぎの区分に従って時間
t
の関数として表わせ。
①　0 ≦t ≦1
のとき　Ｓ＝
②　1≦t ≦ 2
のとき　Ｓ＝
③　2 ≦t ≦ 3
のとき　Ｓ＝
④　3 ≦t ≦ 4
のとき　Ｓ＝
⑤　4 ≦t ≦ 5
のとき　Ｓ＝
(2)　Ｓと
t
(3)　Ｓ＝
15
4
との関係を示すグラフをかけ。
となるのは何秒後か。
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５
ＡＢ＝８ｃｍ、ＢＣ＝１２ｃｍ、∠ＡＢＣ＝７５°である平行四辺形ＡＢＣＤの内部の１点をＯとする。
Ｏから４辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡに下した垂線の足をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓとする。
sin 15° =
6 - 2 , cos15° = 6 + 2 であることを用いてよい。
4
4
(1)　∠ＰＯＳは何度か。
(2)　ＰＲ、ＱＳの長さはいくらか。
(3)　四辺形ＰＱＲＳの面積はいくらか。必要であれば、
ＰＯ＝
x 、０Ｒ＝ y
として計算し、答は
x, y
を含まない形で示せ。
(4)　Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓがすべて平行四辺形ＡＢＣＤの辺上にあるような点Ｏの
存在範囲を図示せよ。
６
図のように、ＡＢ＝１２ｃｍ、ＡＣ＝１６ｃｍである直角三角形ＡＢＣの辺ＡＢ上の任意の点Ｄから出発して
ＤＥ ∥ ＢＣ、ＥＦ ∥ ＡＢ、ＦＧ ∥ ＣＡ、ＧＨ ∥ ＢＣ、ＨＩ ∥ ＡＢのように進む。
(1)　ＩＤ ∥ ＣＡとなることを証明せよ。
(2)　ＡＤ＝
x の値が、０と(2)で得られた値の間の値のとき、
△ＤＥＰ＋△ＦＧＱ＋△ＨＩＲ＋△ＰＱＲ　を x の式で表わし、
この値が最小になるときの x の値を求めよ。
(3)　x ｃｍとおくとき、△ＰＱＲの面積が０となるのは x がいくらのときか。

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