(1) k を 1 ≦ k ≦ n (3)

1
‘ p0 ，p1 ，p2 ，p3 ，p4 ，p5 ，a を求めよ．
n は自然数，p0 ，p1 ，Ý，pn は p0 > 0，Ý，pn > 0 かつ p0 + p1 + Ý + pn = 1 を満たす定数
’ (1) のように最大 2 回試行を行う場合，bk の最大値を求めよ．
とする．ポイント 0; 1; 2; Ý; n ¡ 1; n が，それぞれ p0 ; p1 ; p2 ; Ý; pn¡1 ; pn の確率で得
“ (3) のように最大 3 回試行を行う場合，cm の最大値を求めよ．
られる試行 T を考える．試行 T を 1 回行って得られるポイントの期待値を a とし，A = [a] + 1
とする．ただし，実数 x に対して [x] は x を超えない最大の整数を表す．競技者は，試行 T を
（愛媛大学 2014 ）
下記の各設問のルールに従って何回か行う．
(1) k を 1 5 k 5 n を満たす整数とする．競技者は，試行 T を以下のルールに従って最大 2 回まで
行う．
1 試行 T を 1 回行い，もしポイントが k 以上であれば 2 回目の試行を行わず，このポイント
を賞金とする．
2 1 回目のポイントが k 未満であれば 2 回目の試行 T を行う．このとき，1 回目のポイントは
無効とし，2 回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を bk とする．bk を求めよ．
(2) (1) の期待値 bk は k が A のとき最大となることを示せ．
(3) m を 1 5 m 5 n を満たす整数とする．競技者は，試行 T を以下のルールに従って最大 3 回ま
で行う．
1 試行 T を 1 回行い，もしポイントが m 以上であれば 2 回目以降の試行を行わず，このポイ
ントを賞金とする．
2
a を実数とする．2 次関数
f(x) = x2 ¡ ax + 1
の区間 0 5 x 5 1 における最大値を M(a)，最小値を m(a) と表す．
(1) 2 つの関数 b = M(a) と b = m(a) のグラフをかけ．
(2) b を実数とする．2 次方程式
x2 ¡ ax + 1 ¡ b = 0
2 1 回目のポイントが m 未満であれば 2 回目の試行 T を行う．2 回目のポイントが A 以上で
あれば 3 回目の試行を行わない．このとき，1 回目のポイントは無効とし，2 回目のポイン
トを賞金とする．
3 2 回目のポイントが A 未満であれば 3 回目の試行 T を行う．このとき，1 回目，2 回目のポ
イントは無効とし，3 回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を cm とする．cm を求めよ．
(4) (3) の期待値 cm は m が B = [bA ] + 1 のとき最大となり，cB = bA であることを示せ．ただ
し，bA は (1) で求めた期待値 bk の k = A のときの値である．
(5) n = 5 とし，試行 T として，5 枚の硬貨を同時に投げ，表の出た枚数をポイントとする試行を
考える．また，bk ，cm は上記で定義したものとする．
が区間 0 5 x 5 1 において少なくとも 1 つの解を持つような点 (a; b) 全体の集合を，(1) を用
いて斜線で図示せよ．
（慶應義塾大学 2014 ）
3
n 枚のカードに 1 から n までの自然数がひとつずつ書かれている．異なるカードには異なる数が
(1) n を正の整数とする．n 回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から n 番目の文字が
A となる確率を求めよ．
書かれている．これら n 枚のカードを横一列に並べて，左端から i 番目（ 1 5 i 5 n ）のカード
(2) n を 2 以上の整数とする．n 回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から n ¡ 1 番目の
に書かれた数を ai とする．
文字が A で，かつ n 番目の文字が B となる確率を求めよ．
(1) n = 5 のとき，a1 < a2 < a3 かつ a3 > a4 > a5 を満たすカードの並べ方の総数を求めよ．
（東京大学 2015 ）
(2) n = 3 とする．次の条件 ‘，’ を満たすカードの並べ方の総数を n の式で表せ．ただ
し，’ では，k = 2 のとき a1 < a2 < Ý < ak は a1 < a2 を表し，k = n ¡ 1 のとき
ak > ak+1 > Ý > an は an¡1 > an を表す．
‘ 1<k<n
’ a1 < a2 < Ý < ak かつ ak > ak+1 > Ý > an
5
(3) n = 4 とする．次の条件 ‘，’，“ を満たすカードの並べ方の総数を n の式で表せ．た
させ，裏が出れば P を原点に関して対称な点に移動させる．P は初め原点にあるとし，硬貨を
だし，“ のそれぞれの不等式は (2) と同様に，p = 2 のとき a1 > a2 を表し，q = p + 1 の
とき ap < ap+1 を表し，q = n ¡ 1 のとき an¡1 > an を表す．
数直線上の点 P を次の規則で移動させる．一枚の硬貨を投げて，表が出れば P を +1 だけ移動
n 回投げた後の P の座標を an とする．
(1) a3 = 0 となる確率を求めよ．
‘ 1<p<q<n
(2) a4 = 1 となる確率を求めよ．
’ a1 = n かつ ap = 1
“ a1 > a2 > Ý > ap かつ ap < ap+1 < Ý < aq かつ aq > aq+1 > Ý > an
(3) n = 3 のとき，an = n ¡ 3 となる確率を n を用いて表せ．
（一橋大学 2014 ）
（徳島大学 2014 ）
4
投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ
1
のコインを 1 枚用意し，次のように左から順に文字
2
を書く．
コインを投げ，表が出たときは文字列 AA を書き，裏が出たときは文字 B を書く．さらに繰
り返しコインを投げ，同じ規則に従って，AA，B をすでにある文字列の右側につなげて書いて
いく．
6
3 個の玉が横に一列に並んでいる．コインを 1 回投げて，それが表であれば，そのときに中央に
ある玉とその左にある玉とを入れ替える．また，それが裏であれば，そのときに中央にある玉
とその右にある玉とを入れ替える．この操作を繰り返す．
(1) 最初に中央にあったものが n 回後に中央にある確率を求めよ．
(2) 最初に右端にあったものが n 回後に右端にある確率を求めよ．
たとえば，コインを 5 回投げ，その結果が順に表，裏，裏，表，裏であったとすると，得られ
る文字列は，
AABBAAB
となる．このとき，左から 4 番目の文字は B，5 番目の文字は A である．
（信州大学 2014 ）
7
4ABC の頂点は反時計回りに A，B，C の順に並んでいるとする．点 A を出発した石が，次の
規則で動くとする．
コインを投げて表が出たとき反時計回りに隣の頂点に移り，裏が出たときは動かない．コイ
1
ンを投げて表と裏の出る確率はそれぞれ
とする．
2
コインを n 回投げたとき，石が点 A，B，C にある確率をそれぞれ an ; bn ; cn とする．次の問
いに答えよ．
(1) a1 ; b1 ; c1 の値を求めよ．
(2) an+1 ; bn+1 ; cn+1 を an ; bn ; cn で表せ．また，a2 ; b2 ; c2 および a3 ; b3 ; c3 の値を求めよ．
(3) an ; bn ; cn のうち 2 つの値が一致することを証明せよ．
(4) (3) において一致する値を pn とする．pn を n で表せ．
（広島大学 2011 ）
8
実数 a; b に対して，f(x) = x2 + ax + b とする．次の問いに答えよ．
(1) ¡1 5 x 5 1 における f(x) の最大値を M，最小値を m とする．
(a) M; m をそれぞれ以下の場合に分けて a; b を用いて表せ．
‘ a 5 ¡2
’ ¡2 < a < 2
“ 25a
(b) M ¡ m が最小となるような a の値を求め，さらにそのときの M ¡ m の値を求めよ．
(2) ¡1 5 x 5 1 における f(x) の最大値が最小となるような a; b の値を求め，さらにそのとき
の f(x) の最大値を求めよ．
（東京理科大学 2015 ）

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