整数面積三角形 𝑥𝑦 平面上にどの 3 点も同一線上にない 𝑛 個の格子点をランダムに選定する。こ のとき、任意の 3 点を結んでできる nC3 個の三角形のうち、面積が整数であるも の（整数面積三角形と呼ぶ）の個数を調べたい。 （1）𝑛 = 5 のとき、格子点の選び方にかかわ らず、中点も格子点であるような 2 点が 必ず存在することを示せ。 （2）𝑛 = 5 のとき、格子点の選び方にかかわ らず、整数面積三角形が必ず存在するこ とを示せ。 （3）𝑛 = 5 のとき、整数面積三角形の個数の最小値および最大値を求めよ。 またその個数の期待値を求めよ。 （4）𝑛 個の格子点をランダムに選定したとき、どの三角形もすべて整数面積三角 形となる確率を求めよ。 （5）𝑛 が十分大きな数であるとき、整数面積三角形の個数と非整数面積三角形の 個数との比はどのような値に近づくと考えられるか。最も簡単な整数比で示せ。 （6） （5）で得られた比を元に（3）の期待値を計算すると、両者は一致する。これ をヒントとして、𝑛 個の格子点をランダムに選定した場合の整数面積三角形の 個数の期待値を求めよ。
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