D001:整数面積三角形

整数面積三角形
𝑥𝑦 平面上にどの 3 点も同一線上にない 𝑛 個の格子点をランダムに選定する。こ
のとき、任意の 3 点を結んでできる nC3 個の三角形のうち、面積が整数であるも
の(整数面積三角形と呼ぶ)の個数を調べたい。
(1)𝑛 = 5 のとき、格子点の選び方にかかわ
らず、中点も格子点であるような 2 点が
必ず存在することを示せ。
(2)𝑛 = 5 のとき、格子点の選び方にかかわ
らず、整数面積三角形が必ず存在するこ
とを示せ。
(3)𝑛 = 5 のとき、整数面積三角形の個数の最小値および最大値を求めよ。
またその個数の期待値を求めよ。
(4)𝑛 個の格子点をランダムに選定したとき、どの三角形もすべて整数面積三角
形となる確率を求めよ。
(5)𝑛 が十分大きな数であるとき、整数面積三角形の個数と非整数面積三角形の
個数との比はどのような値に近づくと考えられるか。最も簡単な整数比で示せ。
(6)
(5)で得られた比を元に(3)の期待値を計算すると、両者は一致する。これ
をヒントとして、𝑛 個の格子点をランダムに選定した場合の整数面積三角形の
個数の期待値を求めよ。