整数面積三角形
𝑥𝑦 平面上にどの 3 点も同一線上にない 𝑛 個の格子点をランダムに選定する。こ
のとき、任意の 3 点を結んでできる nC3 個の三角形のうち、面積が整数であるも
の（整数面積三角形と呼ぶ）の個数を調べたい。
（1）𝑛 = 5 のとき、格子点の選び方にかかわ
らず、中点も格子点であるような 2 点が
必ず存在することを示せ。
（2）𝑛 = 5 のとき、格子点の選び方にかかわ
らず、整数面積三角形が必ず存在するこ
とを示せ。
（3）𝑛 = 5 のとき、整数面積三角形の個数の最小値および最大値を求めよ。
またその個数の期待値を求めよ。
（4）𝑛 個の格子点をランダムに選定したとき、どの三角形もすべて整数面積三角
形となる確率を求めよ。
（5）𝑛 が十分大きな数であるとき、整数面積三角形の個数と非整数面積三角形の
個数との比はどのような値に近づくと考えられるか。最も簡単な整数比で示せ。
（6）
（5）で得られた比を元に（3）の期待値を計算すると、両者は一致する。これ
をヒントとして、𝑛 個の格子点をランダムに選定した場合の整数面積三角形の
個数の期待値を求めよ。