1 dx (4) 2 2 - SUUGAKU.JP

1
次の空欄
ア
∼
シ
に当てはまる数または式を記入せよ．
(1) 式 (2x + 3y + z)(x + 2y + 3z)(3x + y + 2z) を展開したときの xyz の係数は
ア
である．
i
x+2
+
= 0 を満たすとき，x =
1 + xi
y+i
ただし，i は虚数単位とする．
Z2
(3) 定積分
x x ¡ 1 dx を求めるとエである．
(2) 実数 x; y が
1
2
1
3
¡2
イ
，y =
ウ
である．
1
(4) 2 ; 3 ; 5 5 の大小関係はオ < カ < キである．
x
(5) 不等式 (log2 x)2 + log2
< 1 を満たす x の範囲はクである．
2
(6) 半径 1 の円に内接する正 n 角形の周の長さはケである．
(7) 座標空間における 3 点 A(1; ¡1; 5)，B(4; 5; 2)，C(a; b; 0) が一直線上にあるとき，
a=
コ
，b =
サ
である．
(8) 円 x2 + y2 = 1 と直線 y = kx + 2 (k > 0) が接するとき，その接点の座標は
シ
で
ある．
（立教大学 2015 ）
2
¡!
¡
!
¡
! ¡
!
4ABC について考える．点 P は，6AP + 3BP + 2CP = 0 を満たすものとする．4ABC
の面積を S1 ，4PBC の面積を S2 としたとき，
11S2
の値を求めよ．
S1
（自治医科大学 2015 ）
3
0 5 µ 5 ¼ のとき，3 sin µ + cos µ = 1 を満たす sin µ; cos µ の値を求めよ．
（倉敷芸術科学大学 2015 ）
4
次の空欄
ア
∼
コ
に当てはまる数または式を記入せよ．
(1) 2 つの自然数 p; q が p2 + pq + q2 = 19 を満たすとき，p + q =
(2) 0 5 µ < 2¼ のとき，sin2 µ + cos µ ¡ 1 の最大値は
イ
ア
である．
であり，最小値は
で
ウ
ある．
1p
1p
1p
1p
+ p
+ p
+Ý+ p
とすると，S の値は
1+ 5
5+ 9
9 + 13
45 + 49
である．
(3) S =
(4) 方程式 log p 2 (2 ¡ x) + log2 (x + 1) = 1 の解をすべて求めると，x = オ
Z1
2
(5) 等式 f(x) = x + 3
f(t) dt を満たす関数は，f(x) = カである．
エ
である．
0
(6) 座標空間における 4 点 A(1; 0; 0)，B(0; 2; 0)，C(0; 0; 3)，D(x; 4; 5) が同一平面
上にあるとき，x =
キ
である．
(7) 3 次方程式 x3 ¡ x2 + ax + b = 0 の解の 1 つが 1 + i のとき，a =
ク
，b =
ケ
である．ただし，a; b は実数とし，i は虚数単位とする．
(8) 三角形 ABC の辺の長さが AB = 4，BC = 5，CA = 6 のとき，三角形 ABC の面積は
コ
である．
（立教大学 2015 ）
5
次の問いに答えよ．
(1) 座標平面上の放物線
2
y = (x ¡ 29) ¡ 3600
と x 軸の共有点の x 座標は
ア
と
イ
である．ただし
ア
<
イ
とする．
(2) x + y = 1 かつ 0 < x < 1 を満たす実数 x; y に対して
A=
1
1
+
;
x
y
B = #1 +
1
1
; $1 + 2 <
x2
y
とおく．
‘ A のとり得る値の最小値は
ウ
である．
’ すべての x; y に対して
B=
エ
A2 +
オ
A+
カ
が成り立つ．
“ B のとり得る値の最小値は
キ
である．
（上智大学 2015 ）
6
a; b を実数として，3 次関数 f(x) = x3 ¡ ax2 + 3bx ¡ 10 は x = 1 で極値をとるとする．
(1) a =
ア
b+
イ
ウ
エ
であり，b Ë
オ
である．
(2) 3 次方程式 x3 ¡ ax2 + 3bx ¡ 10 = 0 が異なる 3 つの実数解をもつのは
b<¡
カ
;
キ
<b
のとき，すなわち
a<¡
ク
ケ
;
コ
サ
<a
のときである．
（東京理科大学 2015 ）
7
定義域を ¡2 5 x 5 3 とする放物線 y = ax2 + 2ax + b がある．ただし，その形は下に凸
であるとする．以下の問に答えよ．
(1) この関数の最大値が 6，最小値が ¡2 であるとき，定数 a; b の値を求めよ．
(2) (1) で求めた放物線を原点に関して対称移動したあとの放物線の式を求めよ．
（北星学園大学 2015 ）
8
数列 fan g が a1 = 9，an+1 = 15an を満たしている．次の問いに答えよ．
(1) 数列 fan g の一般項を求めよ．
(2) a21 は何桁の整数か．ただし，log10 2 = 0:3010，log10 3 = 0:4771 とする．
（広島工業大学 2015 ）
9
1 回の試行において，事象 A が起こる確率を 3 ¡ 5p とする．次の問いに答えよ．
(1) p の条件を求めよ．
(2) 2 回の試行において，事象 A が 1 回だけ起こる確率 f(p) を求めよ．
(3) f(p) の最大値，およびそのときの p の値を求めよ．
（広島工業大学 2015 ）
10 実数 k は 0 < k < 2 をみたし，xy 平面上の曲線 C を y = ¡x2 + 4 (x = 0)，直線 ` を
y = 4 ¡ k2 とする．次の各問に答えよ．
(1) y 軸，曲線 C，直線 ` で囲まれる部分の面積を S1 とすると，S1 =
ア
イ
k ウとなる．
(2) 直線 x = 2，曲線 C，直線 ` で囲まれる部分の面積を S2 とすると，
S2 =
エ
オ
k カ ¡
キ
k ク +
ケ
コ
となる．
(3) 2 つの面積の和 S = S1 +S2 を考える．S の最小値は
サ
である．このとき k =
シ
である．
（東洋大学 2015 ）

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