例題 (条件付き最大 · 最小 N o.1) x = 0, y = 0, x + y = 2 を満たすとき，x2 + y 2 の最大値と最小値を求めよ。 条件付き最大 · 最小 =⇒ 基本は文字を減らす方針で (範囲に注意) 〔解答〕 1 x + y = 2 より y = 2 − x · · · ⃝ x = 0, y = 0 から 2 − x = 0 ⇐⇒ 0 5 x 5 2 ←− :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: x2 + y 2 = x2 + (2 − x)2 文字を減らすときに，範囲に注目 するのを忘れないように。 1 より) (⃝ = 2x − 4x + 4 2 f (x) = 2x − 4x + 4 (0 5 x 5 2) とおくと 2 f (x) = 2(x − 1)2 + 2 1 より，x = 2 のとき y = 0 ⃝ f (x) x = 0 のとき y = 2 x = 1 のとき y = 1 f (x) = 2x2 − 4x + 4 したがって， 最大値 4 ((x, y) = (2, 0), (0, 2)) 最小値 2 ((x, y) = (1, 1)) 4 2 O 問題 実数 x, y が，関係式 x2 + 2x + 2y = 3 を満たす。 (1) y の最大値を求めよ。 (2) x2 + y 2 + 2x − 3y の最小値を求めよ。 1 2 x y 〔解答〕 2 1 (1) x2 + 2x + 2y = 3 から y = − (x + 1)2 + 2 2 グラフより，y の最大値 2 (x = −1) x −1 O 1 (2) 条件と (1) より x2 + 2x = 3 − 2y (y 5 2) · · · ⃝ 1 より) x2 + y 2 + 2x − 3y = (3 − 2y) + y 2 − 3y (⃝ = y 2 − 5y + 3 f (y) = y 2 − 5y + 3 (y 5 2) とおくと f (y) = ( )2 5 13 y− − 2 4 f (y) 1 より，y = 2 のとき x = −1 ⃝ したがって，最小値 −3 ((x, y) = (−1, 2)) 2 O ● (1) がなくても x2 + 2x + 2y = 3 ⇐⇒ (x + 1)2 = 4 − 2y :::::::::::::::::: (x + 1)2 = 0 なので 4 − 2y = 0 隠れた条件 (実数)2 = 0 に注意。 ⇐⇒ y 5 2 −3 5 2 y
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