1 自然数 n に対し，整式 (x 2 + x + 1)

1
n
自然数 n に対し，整式 (x2 + x + 1) を整式 x3 + x2 ¡ x ¡ 1 で割ったときの余りを
an x2 + bn x + cn とする．このとき，an ; bn ; cn を求めよ．
4
¡
!
¡
!
¡
!
2 平面上に異なる 3 点 A( a )，B( b )，C( c ) がある．線分 AB，BC を m : n に内分す
¡
!
¡
!
¡
!
る点をそれぞれ P( p )，Q( q ) とする．さらに線分 PQ を m : n に内分する点を R( r )
m
(0 < t < 1) とするとき，下の問いに答えよ．
とする．t =
m+n
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) r を a ， b ， c および t を用いて表せ．
(2) 1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC の頂点 A，B，C に対し，上のように点 R をとる．直
線 AC に対して点 B と対称な位置にある点を O とする．点 R は，点 O を中心とし半径
OA の円の外部にあることを示せ．
3
0 < x < 2¼ のとき，y = 2 sin x のグラフと y = a ¡ cos 2x のグラフが接するように
定数 a の値を定め，そのときの 2 つのグラフをかけ．ただし，2 つのグラフがある共有
点で共通の接線をもつとき，これらのグラフは接するという．
f(x) を区間 [0; 1] で定義された連続な関数とする．このとき，定積分
I=
Z
0
1
2f(x) log(x + 1) ¡ ff(x)g2 • dx
について下の問いに答えよ．
(1) I の値を最大にするような f(x) を求めよ．
(2) I の最大値を求めよ．

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