最適化手法レポート課題（平成 27 年度 A1 セメスター）

最適化手法レポート課題（平成 27 年度 A1 セメスター）
問 1 a, b, c として（0 でない）適当な整数を各自で選んだ上で，次の関数の停留点をすべて求めよ．
また，それらが極小点，極大点，鞍点のいずれであるかを答えよ．
1) f (x) = x1 2 + ax1 x2 + bx2 2 .
2) f (x) = (x1 2 − ax2 )2 + b(x1 − c)2 .
問 2 正定値対称行列 Q ∈ Rn×n とベクトル c ∈ Rn を用いて，関数 f : Rn → R を
1
f (x) = x⊤ Qx + c⊤ x
2
で定める．f の無制約最小化問題に最急降下法を適用するとき，以下の問いに答えよ．
1) 初期点を x0 ，ステップ幅を α0 としたとき，x1 を求めよ．
2) Q = βI （β は正の定数，I は n 次の単位行列）とおく．このとき，α0 を適当に選ぶと，最
急降下法は 1 回で最適解に収束することを示せ．
問 3 関数
1
f (x) = x1 4 − 2x1 2 x2 + 4x2 2 + 8x1 + 8x2
2
の無制約最小化問題に，Newton 法を適用する．初期解を x0 = (0, 1)⊤ と選び，ステップ幅は常
に αk = 1 とする．このとき，x1 , x2 および f (x1 ) を求めよ．計算の手順も簡潔に示せ．
問 4 関数 f : R2 → R を
1
f (x) = x1 2 + x1 x2 + 2x2 2 + 2x1 − 4x2
2
で定義し，f の無制約最小化問題を準 Newton 法で解くことを考える．図 1 は，f の等高線を表す．
1) 最適性の 1 次の必要条件を用いて停留解 x∗ を求めよ．また，x∗ が最適性の 2 次の十分条件
を満たすことを示せ．
2) k = 0 において x0 = (0, 0)⊤ , H0 = I と選び，BFGS 公式の H 公式を適用する．ステップ幅
は常に αk = 1 とする．このとき，x1 , x2 , x3 を求めよ（計算の手順も簡潔に示せ）．
問 5 次の点列は 0 に超 1 次収束するかどうかを調べよ．また，超 1 次収束するものについては，2 次
収束するかどうかを調べよ．
1) {0.5, 0.52 , 0.54 , 0.57 , 0.511 . . . }.
k−1
2) {0.82
} = {0.8, 0.64, 0.4096, 0.1678, . . . }.
3) {1/k!} = {1, 1/2, 1/3!, 1/4!, . . . }.
1
3
2
1
x
2
0
−1
−2
−3
−4
−5
−2
0
2
x1
4
6
図 1: 問 4 の目的関数 f の等高線
問 6 講義についての感想・コメント・要望などを自由に書いて下さい．何を書いても，減点にはなり
ません．
• 締切：2015 年 11 月 2 日（月）18 時
• 提出先：教養学部教務課アドミニストレーション棟
• 用紙：A4 判
表紙に，科目名，名前，学年，学生証番号を書くこと．
• 数値計算が必要な課題（問 3 や問 4 の 2)）では，分数を小数に直して適当な桁で四捨五入し
て良い．また，計算には，電卓やコンピュータなどを自由に用いて良い．
(2015, 寒野)
2

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