f(x) - SUUGAKU.JP

1
a; b は実数で，関数
f(x) = 23x ¡ a22x + a2x+1 ¡ b
のグラフは x 軸と相異なる 3 点 0; ®; ¯ (® < ¯) で交わるものとする．こ
3
O1 ，O2 を中心とする 2 つの円が 2 点 A，B で交わっているとする．O1 ，O2
は線分 AB 上にはないものとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1) 線分 AB は直線 O1 O2 と直交していることを証明せよ．
(2) 点 B を通り線分 O1 O2 と平行な直線 g は，円 O1 と接していないことを証
明せよ．
のとき，次の各問いに答えよ．
(1) 2x = t とおいて，f(x) を t で表した関数を g(t) とする．g(t) を求めよ．
(2) b および ® + ¯ を，a を用いて表せ．
4
(3) ®; ¯ が
Z
¯
®
2
# t + 1; dt = 2(¯ ¡ ®)
3
次の各問いに答えよ．
(1) a > 0 とする．項数 3 の 2 つの有限数列
4; a; b および
b; c; 36
を満たすとき，a の値を求めよ．さらに，そのときの ®; ¯ の値を求めよ．
はともに等比数列であり，
a; b; c
2
a; b; c; d は実数で，a > 0 とする．関数
は等差数列とする．このとき，a; b; c の値を求めよ．
3
2
f(x) = ax + bx + cx + d
について，次の各問いに答えよ．
(1) f(x) が極値を持つための条件を，a; b; c; d を用いて表せ．
(2) f(x) が常に変曲点を持つことを示し，その変曲点を求めよ．
(2) (1) で求めた a に対し，数列 fan g は a1 = 4; a2 = a の等比数列とし，数
列 fbn g は b1 = 4 を満たし，その階差数列が fan g に等しいとする．このと
き，数列 fbn g の一般項 bn を求めよ．
(3) 初項を p とする数列 fpn g において，その階差数列が元の数列と等しいと
する．このとき，この数列の一般項 pn を求めよ．
5
次の各問いに答えよ．
7
(1) 微分可能な 2 つの関数 f(x); g(x) の積 f(x)g(x) の導関数を定義に従っ
て求めよ．
(2) a を実数とするとき，関数 y = (1 + x2 )a の導関数を求めよ．
x
(3) 関数 y = B
の増減，グラフの凹凸，漸近線を調べ，グラフの概形
1 + x2
をかけ．
(4) n が正の整数であるとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
C
¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
4 点 A( a )，B( b )，C( c )，D( d ) を頂点とする四面体 ABCD について，
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
ベクトル a ; b ; c ; d を用いて，次の各問いに答えよ．
¡
!
(1) 4ABC の重心 G の位置ベクトル g と，4BCD の重心 H の位置ベクトル
¡
!
h を求めよ．
(2) 2 点 D，G を通る直線 `1 の方程式を求めよ．2 点 A，H を通る直線 `2 の方
程式を求めよ．
(3) (2) の 2 直線 `1 ; `2 は交点を持つことを示し，その交点の位置ベクトルを
求めよ．
1
2
3
n
1 + n2 ¡ 1 < p + p + p
+Ý+ B
2
5
10
1 + n2
8
次のように，円 C1 は直交座標に関する方程式で表され，曲線 C2 は極方程
式で表されている．
6
次の各問いに答えよ．
(1) 10 桁の自然数で，各桁の数の合計がちょうど 3 になるものはいくつあるか．
C1 : x2 + y2 + 6x ¡ 2y + 7 = 0
(2) 10 桁以下の自然数で，各桁の数の合計がちょうど 4 になるものはいくつあ
C2 : r = p
るか．
(3) 右から読んでも左から読んでも同じ数になる自然数を「回文数」と呼ぶ．例
えば 1233321; 467764 は回文数であるが，12333210 は回文数ではない．10
桁以下の自然数の中に回文数はいくつあるか．
1
2 ¡ sin µ
このとき，次の各問いに答えよ．
(1) 円 C1 を媒介変数を用いて表せ．
(2) 曲線 C2 はどんな曲線になるか．また，その概形もかけ．
(3) 円 C1 の中心を通り曲線 C2 に接する直線の方程式を求めよ．
9
A チームと B チームは毎日 1 回野球の試合をする．毎回勝敗を決定し，引き
分けはないものとする．どちらかのチームが 3 連勝したときにそのチームの
優勝とする．1 回目の試合では，A チームの勝つ確率は B チームの勝つ確率
の 2 倍である．また，2 回目の試合からは，A チームの勝つ確率は，前日の
試合で勝ったときは B チームの勝つ確率の 2 倍であり，負けたときは B チー
1
ムの勝つ確率の
倍である．このとき，次の各問いに答えよ．
3
(1) 1 回目の試合で A チームが勝つ確率 PA と B チームが勝つ確率 PB を求
めよ．
(2) 前日の試合で A チームが勝ったとき，今日の試合で A チームが勝つ確率
PAA と，前日の試合で B チームが勝ったとき，今日の試合で B チームが勝
10 次の各問いに答えよ．
(1) 方程式 x3 ¡ 1 = 0 の虚数解の一つを ! とするとき，!4 + !2 + 1 の値を
求めよ．
(2) ¡2 5 m < 2 かつ ¡2 < n 5 2 であるような整数の組 (m; n) のうち，条
件「 1 5 m または n < 0 」を満たすものの個数を求めよ．
(3) 半径 r の円 O の外部の点 P からこの円に引いた接線の接点の一つを T とす
る．T を端点とする円 O の直径 TQ をとる．三角形 PTQ の辺 PQ と円 O と
の交点を R とするとき，PR の長さを求めよ．ただし，ÎQPT = 30± とする．
(4) 正六角形の頂点の中から異なる 3 点を選んで三角形を作る．この三角形が
正三角形にも二等辺三角形にもならない確率を求めよ．
つ確率 PBB を求めよ．
(3) 4 回以内の試合で優勝が決まる確率を求めよ．
(4) 5 回目の試合で優勝が決まったことがわかっている．このとき A チームが
優勝している確率を求めよ．
11 関数 f(x) は f(0) = 0 および f(¡1) = f(1) = 3a を満たす 2 次関数と
し，関数 g(x) を
g(x) =
Z
x
0
f(t) dt +
4
a
とする．ただし，a は 0 でない定数である．このとき，次の各問いに答えよ．
(1) 関数 f(x) を求めよ．
(2) 直線 y = 3x + 2 が曲線 y = g(x) に接するように定数 a の値を定めよ．さ
らに，その接点の座標を求めよ．
¡!
¡
! ¡!
¡
!
12 平面に四角形 ABCD があり，AB = b ; AD = d とおくとき，頂点 C は
!
!
¡!
3¡
4¡
b +
d
AC =
5
5
を満たすものとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1) 直線 AB と DC の交点を E，直線 AD と BC の交点を F とする．ベクトル
¡! ¡! ¡
! ¡
!
AE と AF を b と d を用いて表せ．
¡! ¡
!
(2) 線分 BD の中点を Q，線分 EF の中点を R とするとき，ベクトル QR を b
¡
!
と d を用いて表せ．
(3) 線分 AC の中点を P とするとき，3 点 P，Q，R は同一直線上にあることを
証明せよ．
13 e を自然対数の底とする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1) 積分
Z
x
0
(x ¡ t)et dt を計算することにより，次の等式を証明せよ．
ex = 1 + x +
Z
x
0
(x ¡ t)et dt
(2) すべての自然数 n について，等式
x
e =1+
n
P
p=1
1 p
1
x +
p!
n!
Z
x
0
(x ¡ t)n et dt
が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ．
(3) x > 0 のとき，すべての自然数 n について，次の不等式が成り立つことを
証明せよ．
ex > 1 +
n
P
p=1
1 p
x
p!
¼
¼
; で与えられる曲線を C1 とする．た
5µ5
2
2
だし，a は正の定数である．このとき，次の各問いに答えよ．
14 極方程式 r = a cos µ #¡
(1) 曲線 C1 上の点 P と極 O を結ぶ直線 OP の点 P の側の延長上に PQ = a と
なるように点 Q をとる．点 P が C1 上を動くときの点 Q の軌跡 C2 の極方程
式を求めよ．
(2) (1) で求めた曲線 C2 上の点 Q(r0 ; µ0 ) を通り，点 Q と極 O を結ぶ直線に垂
直な直線を ` とする．直線 ` の直交座標 (x; y) に関する方程式を求めよ．
(3) (2) で求めた直線 ` は，点 Q に関係なく常に点 (a; 0) を中心とし半径が a
の円に接することを証明せよ．

Download Report