問題PDF版

[I]
関数 f
(
x
)=
x
d王子
について，次の間に答えよ。
(
1
) y=f
(
x）のグラフの概形を描け。
(
2
) t>0を媒介変数として，
x =f
'
(
t
)
, yニ
f
(
t
)-t
f
'
(
t）で表される曲線の
概形を描け。
(
3
) (
2）の曲線の接線が z軸と u軸によって切り取られてできる線分の長さ
は一定であることを示せ。
[
I
I
]
整数 x,yが x
2 2
y
2=1をみたすとき，次の間に答えよ。
(
1）整数ゅう川が（α＋ bh)(x＋凶）
=
u+v
J
2をみたすとき， u，
υを
αぅb
ぅ民 yで表せ。さらに α
2 2
b
2=1のときの u
2-2
v
2の値を求めよ。と
もに答のみでよい。
(
2
) 1<x+y
J
2;3十 2J2のとき， x=3
,y
=2となることを示せ。
(
3
) 自然数 η に対して，（ 3十 2v12r 1 < x + yh壬（ 3+ 2J2
）口のとき，
x+
[
i
l
l
]
y
J
2= (
3十 2v12rを示せ。
仏bを実数とし，
f
(
x
)= x2＋ αx+l g
(
x）
ぅ
二
x
2-bx+1
とおく。次の間に答えよ。
(
1
) 方程式 f
(
x
)= 0と g
(
x
)= 0が共通の解を持つための仏 bの条件を求
めよ。
(
2） α主0
, bミ0の範囲で，（ 1
）で求めた条件をみたしながら仏 bを動かす。
f
(
x
)=0とg
(
x
)=0の共通解を αとし， Y=f(
x）のグラフ上の点（α 0
)
ぅ
における接線を tとする。このとき， y=g
(
x）のグラフと
分の面積 Sの最小値を求めよ。
4
tで固まれる部
同T
] N を 3以上の自然数とする。1から N までの数字が書かれた N枚のカード
を用意し， A と Bの二人で次のようなゲームを行う。まず A は
， lから N ま
での数のうちから一つ選びそれを K とし，その数は Bに知らせずにおく。そ
の後，以下の試行を何度も繰り返す。
Bは N 枚のカードから無作為に一枚ヲ｜いて A にその数を伝え， A は引かれ
た数字が K より大きければ「上J
' K 以下であれば「以下」と Bに答え
， B
はその答から K の範囲を絞り込む。ヲ｜
いたカードは元へ戻す。
このとき， n回以下の試行で Bが K を確定できる確率を PN（
η）
で表す。次
の間に答えよ。
(
1
) K = 1のとき，？3
(
1），九（ 2
)
'?
3(
3）を求めよ。
(
2
) K =2のとき， P3
(
l
），九（ 2
)
' ?3
(
3）を求めよ。
(
3
) K =1
,2
, .,
N について PN（
η）を求めよ。
(
4
) 自然数 cに対して，極限値 l
i
mP
N(c
N）を求めよ。
N→∞
[
V
]
α＞ 0とするo xy平面上に点 A(-J2
仏0
)
,B
(
J
2
α 0
）を固定する。動点
ぅ
P
(
x
,y）は条件 AP+BP= 4
α をみたすものとする。次の間に答えよ。
(
1
) 点 Pの軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ。ただし，答のみで
よい。
(
2
)(
1）の曲線の −
h
a
;
￡ x三dα の部分と，直線 zニ
−
V
2
α，直線 X ＝必 α
で囲まれる図形を z軸のまわりに l回転してできる立体を考える。この
立体の体積 V を求めよ。
(
3
) (
2）の立体の表面積 Sを求めよ。ここで， Uニ f
(
x）のグラフの
p;￡x;￡qの部分を z軸のまわりに 1回転してできる曲面の面積は
イV
{
f
(
x
)
}
2＋川＇（ x
)
}
2dx
として計算してよい。
［以下余白］
一
一 5一
一

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