難関大突破講座：確率 - 数学専門塾Lumiere

難関大突破講座
＜確率率率＞ Lumiere
数学専門塾：
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問題編 2
確率の基礎＜くじ引きの確率＞【１】７本のくじのなかに当たりくじが３本ある。このくじをまず甲が２本引き、次に乙が２本引く。ただし、引いたくじはもとに戻さないものとする。このとき、次の問に答えよ。（１）甲が１本だけ当たる確率を求めよ。（２）甲が１本だけ当たり、なおかつ乙も１本だけ当たる確率を求めよ。（３）乙が１本だけ当たる確率を求めよ。（琉球大）＜電流が流れる確率＞【２】 p を 0 < p < 1 をみたす実数とする。（１）四面体 ABCD の各辺はそれぞれ確率 p で電流を通すものとする。このとき、頂点 A から B に電流が流れる確率を求めよ。ただし、各辺が電流を通すか通さないかは独立で、辺以外は電流を通さないものとする。（２）（１）で考えたような２つの四面体 ABCD と EFGH を図のように頂点 A と E でつないだとき、頂点 B から F に電流が流れる確率を求めよ。（東京大） 3
＜独立試行で動かす針の位置の確率＞【３】正三角形の頂点を反時計回りに A, B, C と名付け、ある頂点に１つの石が置いてある。次のゲームを行う。袋の中に黒玉３個、白玉２個の計５個の玉が入っている。この袋から中を見ずに２個の玉を取り出してもとに戻す。この１回の試行で、もし黒玉２個の場合反時計回りに、白玉２個の場合時計回りに隣の頂点に石を動かす。ただし、白玉１個と黒玉１個の場合には動かさない。このとき、以下の問に答えよ。（１）１回の試行で、黒玉２個を取り出す確率と、白玉２個を取り出す確率を求めよ。（２）最初に石を置いた頂点を A とする。４回の試行を続けた後、石が頂点 C にある確率を求めよ。（岐阜大） 4
サイコロの問題＜さいころの目による変量＞【４】サイコロを４回振って出た目を順に X1 , X2 , X 3 , X 4 とし、 Y = 2 X1 −1 , 2 X2 −1 , 2 X3 −1 , 2 X4 −1 と定義する。（１） Y が奇数となる確率を求めよ。（２） Y が４の倍数となる確率を求めよ。（大阪市立大）＜４個のさいころの目の出方についての確率＞【５】４つのさいころを同時に振るとき、次の確率を求めよ。なお、どのように求めたのか、その説明を必ず述べよ。（１）４つのさいころに同じ目が出る確率。（２）３つのさいころに同じ目が出て、他の１つにはその目と異なる目が出る確率。（３）２つの異なる目がそれぞれ２つずつ出る確率。（４）２つのさいころに同じ目が出て、他の２つにはその目と異なりかつ互いに異なる目が出る確率。（５）連続した４つの自然数の目が出る確率。（山形大） 5
＜４の倍数となる確率と期待値＞【６】３個のさいころを同時に振る試行において、出た目の数の積が４で割り切れる事象を A とする。（１）事象 A が起こる確率 P ( A ) を求めよ。（２）この試行を４回繰り返したとき、事象 A が２回以上起こる確率を求めよ。（３）この試行を n 回繰り返したとき、事象 A が k 回起これば X = 3k で確率変数 X を定義する。このとき、 X の期待値 E ( X ) を求めよ。（北海道大）＜独立の判定＞【７】さいころを２回振って最初に出た目を X 、次に出た目を Y とする。さらに、 Y が奇数のときは３回目に振って出た目を Z とし、 Y が偶数のときには最初に出た目 X を Z とする。また a を 1 ! a ! 6 である自然数とする。このとき次の問に答えよ。（１） Z = a である確率 P ( Z = a ) を求めよ。（２） Y = a である事象と X + Z = 3 である事象は独立かどうかを調べよ。（鹿児島大） 6
玉を取り出す問題＜赤球、白玉の箱への入れ方の確率＞【８】赤い玉が３個と白い玉が６個合わせて９個の玉がある。また箱が３つある。次の問に答えよ。（１）９個の玉を無作為に１列に並べるとき、赤い玉が３個連続して並ぶ確率を求めよ。（２）９個の玉を無作為に３個ずつ分けて３つの箱に入れるとき、それぞれの箱の中に赤い玉が１個
と白い玉が２個ずつ入る確率を求めよ。（３）９個の玉を１個ずつ３つの箱から無作為に選んだ箱に入れるとき、それぞれの箱の中に赤い玉
が１個と白い玉が２個ずつ入る確率を求めよ。（京都府立大）＜一方の色の玉をすべて取り出す回数の期待値＞【９】赤玉と白玉が入っている箱と、表の出る確率が p ( 0 < p < 1) である硬貨が１枚ある。この硬貨を投げて表が出れば箱の中から赤玉を１個取り出し、裏がでれば箱の中から白玉を１個取り出す、という試行を行う。ただし、一度箱から取り出した玉は、もとに戻さない。いま、赤玉３個と白玉３個が入っている箱に対してこの試行を繰り返し、箱の中から赤玉を全部取り出すかまたは白玉を全部取り出したとき、試行を終了するものとする。試行がちょうど n 回で終了する確率を pn とし、 s = p (1 − p ) とする。（１） p3 および p4 を s を用いて表せ。（２）終了するまで行われる試行の回数の期待値を s を用いて表せ。（３）（２）で求めた期待値の最大値とそれを与える p の値を求めよ。（広島大） 7
＜同時に５個の玉を取り出すときの確率＞【１０】袋の中に赤玉が４個、白玉が３個、黒玉が３個入っている。この袋から同時に５個の玉を取り出すとき、以下の問に答えよ。（１）取り出した５個の玉に含まれる赤玉の個数を X とするとき、 X の確率分布を表で示し、期待値 E ( X ) を求めよ。（２）取り出した５個の玉に含まれる赤玉の個数と白玉の個数の積を Y とするとき、 Y の確率分布を表で示し、期待値 E ( X ) を求めよ。（愛知教育大） 8
カードを取り出す問題＜２枚のカードの大きい方、小さい方の期待値＞【１１】 n ( n ! 2 ) 枚のカードに、1, 2, 3, !, n の数字が１つずつ記入されている。このカードの中から無作為に２枚のカードを抜き取ったとき、カードの数字のうち小さい方を X 、大きい方を Y とする。このとき、次の問いに答えよ。（１） X = k となる確率を求めよ。ただし、 k は 1, 2, 3, !, n のいずれかの数字とする。（２） X の期待値を求めよ。（３） Y の期待値を求めよ。（４） X + Y の期待値を求めよ。（宇都宮大）＜カードの数の積が５の倍数、１０の倍数である確率＞【１２】９枚のカードに１から９までの数字が１つずつ記してある。このカードの中から任意に１枚を抜き出し、その数字を記録し、もとのカードのなかに戻すという操作を n 回繰り返す。（１）記録された数の積が５で割り切れる確率を求めよ。（２）記録された数の積が１０で割り切れる確率を求めよ。（名古屋大）＜カードの数の話の期待値＞【１３】何も書かれていない４枚のカードが入った袋がある。この袋からカードを１枚取り出して以下ルールに従って処理を行い、その袋に戻す操作を繰り返す。ルール：第 n 回目（ n = 1, 2, 3, ! ）に取り出したカードが未記入ならば n と書いて袋にもどし、記入済みならばそのまま袋にもどす。カードを取り出す操作を４回繰り返したとき（１）４回目に未記入のカードが取り出される確率を求めよ。（２）４回目が終わったとき、カードに記入された数の和の期待値を求めよ。（名古屋市立大） 9
ランダムウォーク＜さいころによる数直線上の点の移動＞【１４】数直線上を、原点 O から出発して動く点 A があるとする。１つのさいころを振り、その出た目が１のとき点 A を右に１動かし、出た目が 2, 3 のときは右に２動かすものとする。また、出た目が３のとき左に１動かし、出た目が 5, 6 のときは左に２動かすものとする。このとき、さいころを５回振った後に点 A が原点にある確率を求めよ。（東北大） 10
確率の最大＜確率の最大＞【１５】箱の中に１番から N 番までの番号札が１枚ずつ合計 N 枚入っている。この箱から同時に４枚の番号札を取り出す。この４枚の札の中で、最小の番号が３である確率が３である確率を PN とする。ただし、 N ≥ 6 とする。（１） PN を求めよ。（２） PN < PN +1 となる N をすべて求めよ。（３） PN を最大にする N とその最大値を求めよ。（宮城教育大） 11
確率漸化式＜確率漸化式＞【１６】 A, B, C の３人がそれぞれ１枚ずつ札をもっている。最初、 B が赤札、他の２人は白札をもっている。赤札をもっている人がコインを投げて、表が出れば A と B のもっている札を交換する。裏が出れば B と C がもっている札を交換する。これを n 回繰り返したとき、最初に A, B, C が赤札をもっている確率をそれぞれ pn , qn , rn とする。次の問に答えよ。（１） n = 1, 2 のとき、 pn , qn , rn を求めよ。（２） pn , qn , rn を n を用いて表せ。（お茶の水大） ※このテーマの問題は、『漸化式殲滅講座２』をご購⼊入いただき、マスターしてください。 12
確率の極限＜ある状態に先になると勝ちとするゲームに勝つ確率＞【１７】次の問に答えよ。（１）２人で交互に硬貨を投げる。いずれか一方が表を出すまで投げ続け、表を出した人を勝ちちする。先に投げた人が勝つ確率はである。（２）２人で交互に２枚の硬貨を同時に投げる。いずれか一方が２枚とも表を出すまで投げ続け、２枚とも表を出した人を勝ちとする。先に投げた人が勝つ確率はである。（会津大）＜ n 個の袋から３枚の金色のカードを取り出す確率の極限＞【１８】 n 個の袋があり、それぞれの袋には金色のカード３枚と銀色のカード ( 3n − 3) 枚入っている。それぞれの袋から１枚ずつカードを抜き出すとき、確率変数 Xn を抜き出された金色のカードの枚数とおく。（１） X 4 が値３をとる確率 P ( X 4 = 3) 、および値２をとる確率 P ( X 4 = 2 ) を求めよ。（２）金色のカードを１枚抜き出すごとに賞金１００円を受け取る。 n = 4 のときに受け取る賞金の期待値を求めよ。（３）一般の n ( n ≥ 3) について、 Xn が３つなる確率 P ( Xn = 3) を求めよ。（４） lim P ( Xn = 3) を求めよ。（九州大） n→∞
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期待値と分散＜分散の求め方＞【１９】５個の銅貨 Ck ( k = 1, 2, !, 5 ) を同時に投げる。確率変数 X k は銅貨 Ck の表が出たら X k = 1 裏が出たら X k = −1 として定めるものとする。このとき、確率変数 Y = ( X1 + X2 + X 3 + X 4 + X5 ) の平均値と分散を求めよ。（信州大） 2
＜ z = aX − bY の期待値、分散＞【２０】１から４までの数字を１つずつ書いた４個の球が袋の中に入っている。この袋の中から球を同時に２個取り出すとき、番号の大きい方を X 、小さい方を Y とする。（１） X の確率分布を求めそれを表で表せ。さらにこの表から X の期待値と分散を求めよ。 5
（２） aX − bY で表される確率変数 Z の期待値を５、分散をとしたい。定数と b の値を求めよ。 3
（帯広畜産大）＜二項分布＞【２１】座標平面上の点 P の移動を大小２つのさいころを同時に投げて決める。大きい方のさいころの目が偶数のとき点 P を x 軸の正の方向に１だけ動かし、奇数のときはそのままとする。さらに、小さいさいころの目が３の倍数のとき点 P を y 軸の正の方向に１だけ動かし、その他の場合はそのままとする。最初 P が原点にあり、このような試行を n 回繰り返した後の点 P の座標を ( xn , yn ) とするとき、以下の問に答えよ。（１） xn の平均と分散を求めよ。（２） xn 2 の平均を求めよ。（３）原点、( xn , 0 ) , P, ( 0, yn ) の４点を結んでできる四角形の面積を S とする。ただし、xn = 0 または、 yn = 0 のときは S = 0 とする。 S の平均と分散を求めよ。（三重大） 14

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