演習プリント第 6 回テイラー展開・マクローリン展開学籍番号月日氏名提出課題にした場合は, 学籍番号と氏名をはっきり書くこと. 解読できない場合は無効とする. また, 複数枚に渡る場合は本用紙を表紙にすること. 6-1. 次の関数 f (x) を x0 を中心に n 次の項 (つまり (x − x0 )n の項) までテイラー展開せよ. ただし α は実数の定数とする. (1) f (x) = cos x (x0 = 0, n = 4) (3) f (x) = x α (x0 = 0, n = 3) (2) f (x) = log x (x0 = 1, n = 3) (4) f (x) = ex 2 (x0 = 0, n = 6) 類題 6-1. 教科書 p.101 問 3.44 http://www2.kobe-u.ac.jp/~akagi56/class/ に配布プリント, 未解説の演習の解答などがあります. 確認してください. 演習 6 解答 6-1. (1) f 0 (x) = − sin x, f 00 (x) = − cos x, f (3) (x) = sin x, f (4) (x) = cos x より f (0) = 1, f 0 (0) = 0, f 00 (0) = −1, f (3) (0) = 0, f (4) (0) = 1 である. 従って cos x = 1 − ちなみに, cos x の高次導関数の表示 ( (−1)m+1 sin x (cos x)(n) = (−1)m cos x x 2 x4 + + ··· 2! 4! if n = 2m + 1 n = cos x + π 2 if n = 2m を考慮すると, cos x のマクローリン展開は以下のようになります. これはとても有名なマクローリン展開ですので覚えておきましょう. ∞ X x2 x4 (−1)m 2m (−1)m 2m cos x = 1 − + + ··· + x + ··· = x 2! 4! (2m)! (2m)! m=0 (2) f 0 (x) = x−1 , f 00 (x) = −x−2 , f (3) (x) = 2x−3 より f (0) = 0, f 0 (1) = 1, f 00 (1) = −1, f (3) (1) = 2 である. 従って 1 1 log x = (x − 1) − (x − 1)2 + (x − 1)3 + · · · 2 3 (3) f 0 (x) = αxα−1 , f 00 (x) = α(α − 1)xα−2 , f (3) (x) = α(α − 1)(α − 2)xα−3 より f (1) = 1, f 0 (1) = α, f 00 (1) = α(α − 1), f (3) (1) = α(α − 1)(α − 2) である. 従って xα = 1 + α(x − 1) + α(α − 1) α(α − 1)(α − 2) (x − 1)2 + (x − 1)3 + · · · 2! 3! (4) 指数関数 ex のマクローリン展開 x e = ∞ X xn n=0 n! の x を x2 と交換すれば 2 ex = ∞ X x2n n=0 2 n! = 1 + x2 + x4 x 6 + + ··· 2! 3! (ex の 6 階導関数まで計算した人はご苦労さまでした. もちろんそれでも展開式が正しければ○です.)