鶯谷中学・高等学校 series 高校数学こぼれ話　第 15 話　渡邉泰治数学科部長 ■「近似の精度を極限まで上げる」という考え方は何をもたらしたか現実の世界は複雑怪奇である。複雑な状況を完全に把握することが困難なとき、よく分かっている状況で近似して考えることは常套手段である。たとえば、「40 人の人間関係は複雑だから、まずは 4, 5 人で考えて…」「経済活動を単純化して、需要と供給からみると…」「飛んでいるボールを大きさのない質点と考えて…」「理想気体で考えて…」など、いくらでもある。むしろ、対象を近似的に単純化して把握することの方が一般であり、その方が本質がよく見える。数学でも「円周率を 3.14 として…」のように無理数を有理数で近似したり、複雑な関数を単純な関数で近似したりすることがある。数学の発展過程を顧みると、「無理数を有理数で近似し、近似の精度を極限まで上げる（第 2 話）」ことや「複雑な関数を単純な関数で近似し、近似の精度を極限まで上げる」という考え方が無理数や関数の理解を深めてきた。そして、この考え方は特徴的な数である 0, 1, p, e, i と結びつきながら、人類の認識に革新をもたらした。この第 15 話では「近似の精度を極限まで上げる」考え方と 0, 1, p, e, i の関係がどのように結びつくのかをみよう。 ● 「無理数を有理数で近似し、近似の精度を極限まで上げる」とはどういうことか日常で無理数を扱うとき、本物と近似を併用している。たとえば、本物を使って 0U 2 1 2 =2, U 2 % U 3 = U 6 としたり、U 2 71.414, U 3 71.732 のように必要に応じた桁数の有理数で代用したりする。このような本物と近似の巧みな使い分けは、現代人が有理数と無理数の関係を十分理解しているからだろう。つまり、たとえば U 2 という無理数は 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, 1.4142135, 1.41421356, … であり、有理数の数列の極限値という見方をしている。このことを、ここでは「無理数を有理数で近似し、近似の精度を極限まで上げる」という言い方をしている。 ● 「超越関数を多項式関数で近似し、近似の精度を極限まで上げる」とはどういうことかまず最初に、関数を分類しておこう。x, y の n 次方程式で表される関数を代数関数という。これは、定数関数や1 次、 2 次、3 次関数などの多項式関数、y = 2x - 1 などの分数関数、y =U x + 1 などの無理関数を含む。これに対し x 2 + x +1 て、代数関数でない関数を超越関数といい、三角関数や指数・対数関数がそれに当たる。ここで、「超越関数を多項式関数で近似し、近似の精度を極限まで上げる」という考え方と手法を紹介しよう。具体例として、f0 x 1 =e x を取り上げる。g0 x 1 を f0 x 1 の近似関数とし、g0 x 1 を 1 次関数、2 次関数、… n 次関数と次数を高めながら、近似の精度を上げていく。ここで「近似する」とは、 f0 x 1 と g0 x 1 の x =0 における関数値と n 次導関数（ n =1, 2, 3, …）の値を一致させることである。つまり、f0 0 1 =g0 0 1, f (n )0 0 1 =g (n )0 0 1 （ n =1, 2, 3, …）とする。一般に、f0 x 1 =e x を g0 x 1 =a 0 +a 1x + a 2x 2 + a 3x 3 + …+ a nx n で近似するとき、 f0 0 1 =e 0 =1= g0 0 1 =a 0 + a1 ･ 0 +a 2 ･ 0+ a 3･ 0 2 +a 40 3 + …　+ a0 =1 f -0 0 1 =e 0 =1=g -0 0 1 = a 1 +2 ･ a2 ･ 0 +3 ･ a3 ･ 0 2+4 ･ a 4 ･ 0 3 + …= a 1 + a1 = 1 1! f -- 0 0 1 =e 0 =1= g -- 0 0 1 =2 ･ a 2+3 ･ 2 ･ a 3･ 0+4 ･ 3 ･ a 4 ･ 0 2 + …=2 ･ a 2 + a2 = 1 2! f ( 3)0 0 1 = e 0 =1= g (3)0 0 1 =3 ･ 2 ･ a 3 +4 ･ 3 ･ 2 ･ a 4 ･ 0+5 ･ 4 ･ 3 ･ 2 ･ a5 ･ 0 2+ … =3 ･ 2 ･ a 3 + a3 = … f ( n) 0 0 1 =e 0 =1= g ( n) 0 0 1 =n ! ･ a n + an = 1 n! 1 3! これを極限まで続けると、 e x=1+ 1 1 2 1 3 1 4 1 n x+ x + x + x + …+ x +… … ① 1! 2! 3! 4! n! 2 次関数で近似 1 次関数で近似と表される（図 1）。この右辺の表現を関数のべき（冪）級数という。同様にして、f0 x 1 =sin x , f0 x 1 =cos x をべき級数で表すと（図 2）、 1 1 5 1 7 x - x + …+ sin x = x - x 3 + 3! 5! 7! cos x =1- n-1 0 -1 1 x 2n-1 + … … ② 2 n 1 ! 0 1 5 次関数で近似図 1 : e x の近似 1 次関数近似 1 2 1 4 1 -1 1 n -1 2(n -1) x + x - x 6 + …+ 0 x +…… ③ 2! 4! 6! 2 0 n - 1 1! * となる。① ② ③ のように、超越関数 f0 x 1 をべき級数 f0 x 1 = P an x n の形 3 次関数で近似 n =0 定数関数で近似に変形することをマクローリン展開（ Maclaurin, 1698-1746 年）という。 ●超越関数をべき級数で表して、 0, 1, p, e, i とどう結びつくのか 1 k ここで、① ② ③ 式をよく見ると、 x ( k=0, 1, 2, 3, …) で出来ている k! 2 次関数で近似図 2 : sin x 0 上 1, cos x 0 下1 の近似ことに気づく。① では k のすべての項が登場するが、② では奇数次項、③ では偶数次項が符号を交互に変えて登場する。これを見抜いた数学者オイラー（Euler, 1707 - 1783 年）は虚数単位 i を巧みに導入して、 e ix=1+ =1- 1 1 1 1 1 ix + ix 2 + 0 ix 1 3 + ix 4+ ix 5 +… 1! 0 1 2! 0 1 3! 4! 0 1 5! 0 1 1 2 1 1 1 1 5 x + x 4 - …+ i x- x 3 + x - … =cos x +i sin x … ④ 2! 4! 1! 3! 5! 8 9 という関係（オイラーの公式という）を見出した。彼はこれを用いて指数関数と三角関数を結びつけて、解析学の体系を統合するという金字塔を打ち立てた。この ④ 式で x =p とすると、オイラーの等式と呼ばれる次の式を得る。 e pi =cos p +i sin p =-1 + e pi +1=0 … ⑤ この式は、人類にとって最も興味深い数値である 0, 1, p, e, i のすべてが登場し不思議な関係で結びついており、「人類の至宝」（吉田武著：「オイラーの贈り物」、海鳴社参照）と称され、その美しさが賛美されている。また、三角関数と指数関数が結びついたお陰で、三角関数の加法定理は指数法則と連動し、 cos 0 a $b 1 +i sin 0 a $ b1 = e i(a$b) = e ia･ e $ib= 0 cos a +i sin a 10 cos b $i sin b 1 =cos a ･ cos b Psin a ･ sin b + i 0 sin a ･ cos b $cos a ･ sin b 1 となり、両辺の実部と虚部を比べて求められる。これですっきり表現できた。以上、無理数と超越関数を類比させながら「近似の精度を極限まで上げる」考え方をみてきた。これにより、互いに相容れない有理数と無理数、多項式関数と超越関数が、極限の彼方で結びついているという認識ができた。さらに、この考え方は様々な分野で威力を発揮している。実際、すべての学問は、各々特有の理論を立てて現実の世界を近似的に表現し、限りなく本質に迫ろうとしている。たとえば、相対論や量子論は宇宙の原理を近似、ロボットは人間を近似、コンピュータは人間の頭脳を近似し、「究極的に似せよう」として探究が続けられている。このように、この考え方の影響と貢献は計り知れないほど大きい。特にこの第 15 話では、「近似の精度を極限まで上げる」考え方により、複素数の世界において三角関数と指数関数が極限の彼方で同一視されることをみてきた。そしてその結果、オイラーの等式により特徴的な数である 0, 1, p, e, i が美しい関係で結びつくこととなった。ちなみに、0, 1, p, e, i という数は、人類の長い歴史を通して様々な数学的な概念を形成していく役割を果たしてきた重要な数である。これらは別々の役割を果たしたが、ここに一つの式で結びつくことは驚異である。このことについては第 16 話でもさらに詳しくみていこう。