機械工学基礎 I 補充問題その 1(三角比とベクトル) 解答例

機械工学基礎 I 補充問題その 1(三角比とベクトル) 解答例
1-1. △OAP は題意より直角三角形であるので，
従って，
同様に，
OP cos 30◦ = OA
(1)
√
OA
2
200 3
OP =
= 100 × √ =
cos 30◦
3
3
(2)
√
OB
2
100 3
OQ =
= 50 × √ =
cos 30◦
3
3
(3)
△OPQ を考えると，̸ POQ= 60◦ であり，式 (2)，(3) より OP:OQ=2:1 なので，
√
△OPQ は OP:OQ:PQ= 2 : 1 : 3 の直角三角形である．従って，PQ= 100m で
ある．
1-2. 頂点 D を通り辺 AB に平行な線が辺 BC と交わる点を E とする．ABED は平行
四辺形であるので，ED= 6，EC= 15 − 10 = 5，̸ DEC= θ である．従って，
より，
CD2 = ED2 + EC2 − 2ED · EC cos θ
(4)
1
62 + 52 − 72
cos θ =
=
2×6×5
5
(5)
0 < θ < π なので，
√
sin θ = 1 − cos2 θ =
√
√
1
2 6
1− 2 =
5
5
(6)
台形 ABCD の面積は
√
√
1
1
2 6
(BC + DA)AB sin θ = × (15 + 10) × 6 ×
= 30 6
2
2
5
(7)
→
→
1-3. ベクトル −
a の大きさ |−
a | は，
→
|−
a|=
√
√
(−3)2 + (−3 3)2 = 6
1
(8)
−
である．従って，ベクトル →
a の x 成分を ax ，x 軸の正の向きとのなす角を θ とす
ると，
ax
−3
1
cos θ = −
=
=−
→
|a|
6
2
(9)
これより，θ = 120◦ である．
→
同様に，ベクトル −
a の y 成分を ay ，y 軸の正の向きとのなす角を ϕ とすると，
√
√
ay
−3 3
3
cos ϕ = −
=
=−
→
|a|
6
2
(10)
これより，ϕ = 150◦ である．
1-4. それぞれ以下の通り．
√
ay 2 + az 2
tan θ =
ax
√
ax 2 + az 2
tan ϕ =
ay
√
ax 2 + ay 2
tan ψ =
az
(11)
(12)
(13)
1-5. AP の延長が辺 BC と交わる点を Q とする．
より，
−→
−→
−→
PB + 2PC = −5PA
(14)
1 −→ 2 −→ 5 −→
PB + PC = AP
3
3
3
(15)
5
AP である．従って，
3
5
△PBCの面積は，△ABC の面積のである．同様にして，△PCAの面積は △ABC
8
1
1
の面積のであり，△PABの面積は，△ABC の面積のである．以上より，面積
8
4
の比 △PBC:△PCA:△PAB = 5 : 1 : 2 である．
なので，点 Q は辺 BC を 2:1 に内分する点であり，PQ=
1-6. 問題文は次の通り．
「図 D に示された 4 つの力の合力の大きさと向きを作図で求めよ．」
図 D に示された 4 つの力の大きさを正しく作図し直すと，図 D-1 の通りとなる．
2
Fig. D-1
図 D-2 に示す通り力を順に合成して行き，最終的に大きさ 418[lb]，向き θ = 61.75◦
を図 D-3 より得る．
Fig. D-2
Fig. D-3
3

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