微少変化と微分 y を x のある関数 y(x) とする。 x の値が x から x+Δx まで増加するときの y の増加分 Δy は y  y(x  x)  y(x) dy(x) y  lim 微分係数は x0 x dx 接線の傾き y dy(x) dx 従って、が十分小さければ y dy(x) ; x dx つまり y = y(x) y(x+Δx) dy(x) x dx Δy y(x) dy(x) y ; x dx と近似できる。 Δx x x x+Δx 調和振動子運動方程式  ks m 単振動 d2y m 2  ks y dt と定義すればバネ定数 ks 質量 m d2y 2    y 2 dt 力 –ksy y  Asin t    伸び y は確かにこの運動方程式を満たす 0 自然の長さ時間 t が周期 T 進むと、ωt が 2π 増加するはずだから 2  T  2 つまり   T y y 調和振動子のエネルギー y  Asin  t 運動エネルギーポテンシャルエネルギー全エネルギー m  dy  K   2  dt  ks 2 U y 2 2 のとき dy   A cos  t dt m 2 2 ks 2 2 K   A cos  t  A cos2  t 2 2 k U  s A 2 sin 2  t 2 ks 2 E  A 時間に依らない定数 2 E  K U y A t 0 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの時間平均は等しい E K  U  2 –A ks 2 A 2 0 K U t 弦のポテンシャルエネルギー波が無い状態で Δx の長さだった弦の微小部分は、波により長さ l まで伸びる：張力 T l Δl l cos  x よって長さの伸びは x  1  l  l  x   x    1 x  cos  cos  =1 張力 T θ x なので Δx x+Δx 1 1 2 1 2 ; 1   と近似できるから l   x cos 2 2 この微小部分に蓄えられたポテンシャルエネルギー ΔU ＝張力 T がこの微小部分にした仕事 = TΔl 接線の傾き y  ; tan   x U  T l T  y  U    x 2  x  2 以上まとめると弦のエネルギー密度長さ Δx の微小部分質量 Δm = σΔx y 速度 v  t m 2   y  v    x 微小部分の運動エネルギー K  2 2  t  2 全エネルギーは    y  2 T  y  2  K  U         x 2  x    2  t    y  T  y  エネルギー密度 = 単位長さ当たりのエネルギー  (x,t)       2  t  2  x  特に進行波 y = f(x-vt) の場合 2  (x,t)  2   x  vt として 2   df  T  df  2  df  v    v  d  2  d  2  d  2  v2  T 教科書(3.25)式（つまり、運動エネルギー＝ポテンシャルエネルギー） 2 弦のエネルギー密度正弦進行波の場合： f ()  Asin k  Asin k(x  vt) 2 2  df   (x,t)   v     v 2 k 2 A 2 cos 2 (kx   t)  d  分散関係   vk を用いると  (x,t)   2 A2 cos2 (kx  t) 1 時間平均すると cos (kx   t)  2 1  (x,t)   2 A 2 よって 2 2 単位時間に弦上のある点を通過するエネルギーが「波の強さ」波の強さ＝エネルギーの流れ I   2 A2 1 I   (x,t) v   v 2 A 2 2 特に振幅 A の二乗に比例することは重要教科書60ページ例題3.2