リングポテンシアルのメモラプラス級数 (1  2  cos    ) 2 s      B s ,h j2h j cos( j ) j0 h0 B j s ,0  2 j 1   (s  n)   j ! n0  1  ( j  1) ( j  0) , B s ,h  j ( s  h  1)( s  j  h  1) h( j  h) j B s , h 1 質点m,m’間のポテンシアル r, a:テスト粒子の動径、軌道長半径 r’, a’:土星の動径、軌道長半径 r < r’ を仮定 r' Δ θ r a  a  r   2 rr  cos   r 2 a ただし、  a    a  B ,  j2h  j2h j 1/ 2 , h j0 h0    B j0 h0 j 1/ 2 , h  2 a r (1  2  cos    ) 2  1/ 2  r   a         r  a   r  r r    a j2h  a     r   j  2 h cos j j  2 h 1 cos j ただし、 0  a r ,  r   a   k   k 1      a   r  リング化 • 滞在時間に比例した重みづけで、土星をすりつぶして軌道上に散布したときのポテンシャル(ガウスの平均化法)は、摂動関数を時間平均したものに等しい。 • この時間平均をするには、さらに(r/a),(a’/r’)をベッセル級数展開することで、a’/Δのフーリエ級数展開を完成し、l’を含まない項を残せばよい。 • ただ、これでは式が面倒になるので、ひとまず外部天体(土星)がずっと円軌道を描く(木星からの摂動を無視)ことを考えることにする。 • すると、∫dt/T = ∫dθ/2πになるので、単にj=0の項を拾うだけで、リング化ポテンシアルが得られる。リング化した土星のポテンシアル • 具体的には Gm  a  Gm  0  r   R    B1/ 2 , h      a     j  0 part a h0  a  h 2 4 6 8 Gm  1 r  9  r  25  r  1225  r   1              a   4  a  64  a   256  a   16384  a     