平成 27 年度解析力学講義ノート [9]（担当：井元信之） 2015 年 6 月 11 日前回の演習問題の答［問 3.3］天井走行クレーンに関して、(3.55) を導け。解答：L = m 2 ˙2 ! θ 2 + m!θ˙y˙ 0 cos θ + m 2 y˙ 2 0 + mg! cos θ より ∂L = m!2 θ˙ + m!y˙ 0 cos θ ∂ θ˙ d ∂L = m!2 θ¨ + m!¨ y0 cos θ − m!y˙ 0 θ˙ sin θ dt ∂ θ˙ ⇒ ∂L 平成 27 年度解析力学講義ノート [9]（担当：井元信之） = −m!θ˙y˙ sin θ − mg! sin θ 0 ∂θ ラグランジュの運動方程式より (6) と (7) 最右辺同士を等しいとおくと前回の演習問題の答 d ∂L = m!2 θ¨ + m!¨ y0 cos θ − m!y˙ 0 θ˙ sin θ dt ∂ θ˙ ⇒ ∂L = −m!θ˙y˙ 0 sin θ − mg! sin θ ∂θ ラグランジュの運動方程式より (1) と (2) 最右辺同士を等しいとおくと m!2 θ¨ + m!¨ y0 cos θ = −mg! sin θ (2) 2015 年 6 月 11 日 m!2 θ¨ + m!¨ y0 cos θ = −mg! sin θ ［問 3.3］天井走行クレーンに関して、(3.55) を導け。左辺第二項と右辺を移項して交換し両辺を m!2 で割るとただちに (3.55) を得る。解答：L = m !2 θ˙2 + m!θ˙y˙ 0 cos θ + m y˙ 2 + mg! cos θ より 2 2 0 ∂L = m!2 θ˙ + m!y˙ 0 cos θ ∂ θ˙ (1) (3) (1) (2) (3) 左辺第二項と右辺を移項して交換し両辺を m!2 で割るとただちに (3.55) を得る。 3.4. 剛体の運動 53 さてこの Q!j はもともとポテンシャルに収まり切れなかった力すなわち (3.33) 式の Q!j に相当するものであるから、上式を使って (3.33) 式をもう一度書くと、 ! " d ∂L ∂L ∂D − =− dt ∂ q˙j ∂qj ∂ q˙j (3.127) となる。［問 3.4］xy 平面上に二点 P（座標は X1 , Y1 ）と Q（座標は X2 , Y2 ）がある。原点 (0, 0) を O とするとき、三角形 OPQ の面積を求めよ。ただし x 軸から測って OP のなす角より OQ のなす角の方が大きい場合（すなわち P から Q に向かって原点を左に見る場合）に正となるようにせよ。 ← xy 平面を動く点の軌跡を、時間 t を媒介変数として x(t), y(t) で表す。時刻が t から t + ∆t の間の軌跡は、 ∆t が小さければほぼ直線と見なせる。このとき三点 (0,0) と (x(t), y(t)) と (x(t + ∆t), y(t + ∆t)) が作る細長い三角形の面積を求め、∆t で割ってやり、∆t → 0 の極限をとると 1 2 (xy˙ − y x) ˙ となる。これを面積速度と呼ぶ。［問 3.5］面積速度を極座標で表せ。← ［問 3.6］二次元の xy 平面内の中心力場で kx = ky ≡ k の粘性抵抗力を受けながら動く質点の運動方程式を立て、面積速度の時間変化を求めよ。一般座標は極座標とせよ。 3.4 剛体の運動 1 剛体の自由度は 6 である。剛体を代表する剛体内の 1 点（O とする）の空間座標と、剛体の向きを指定するオイラー角 3 つで自由度 6 である。もし O の位置が時間的に変化しないときは、オイラー角に対する運動方程式で剛体の運動が決まる。その代表はコマである。［問 3.6］二次元の xy 平面内の中心力場で kx = ky ≡ k の粘性抵抗力を受けながら動く質点の運動方程式を立て、面積速度の時間変化を求めよ。一般座標は極座標とせよ。 3.4 剛体の運動剛体の自由度は 6 である。剛体を代表する剛体内の 1 点（O とする）の空間座標と、剛体の向きを指定するオイラー角 3 つで自由度 6 である。もし O の位置が時間的に変化しないときは、オイラー角に対する運動方程式で剛体の運動が決まる。その代表はコマである。 3.4.1 オイラー角剛体の向きを決めるためには、剛体に付随する直交座標軸 ξ, η, ζ の原点 O（これはその剛体を代表する 1 点）の位置を決める必要があるが、それを空間座標 x, y, z で指定することにより、まず自由度を 3 つ使う。次は O を含む回転軸の向き θ, φ を決める必要がある。回転軸は通常 ζ 軸とするが、θ, φ の指定によりその向きが決まる。これで自由度 2 つを使う。最後に、その軸の回りに回す角度 ψ を決める必要がある。これで自由度は合計 6 である。この θ, φ, ψ をオイラーの角という。 O の位置は決めたとして、θ, φ, ψ を決める手続きは次の通りである。まず剛体の ξ, η, ζ 軸の向きを空間座標 x, y, z に合わせる。次に z 軸の回りに xy 平面を φ だけ回す。新しい座標軸を x! y ! z ! とすると、z ! 軸は z 軸と同じだが、xz 平面は回転して青で示した x! z ! 平面になる。次に y ! 軸の回りに x! z ! 平面を θ だけ回転する。新しい軸を x!! y !! z !! 軸とすると、この回転により y !! 軸は y ! 軸と同じだが、z ! 軸は z !! 軸まで倒れるとともに、x! 軸も x!! 軸まで下に下がる。x! y ! 平面は赤で示した x!! y !! 平面まで回転する。この z !! 軸に剛体の ζ 軸を合わせる。最後に z !! 軸（ζ 軸）の回りに x!! y !! 軸を赤い面内で ψ だけ回す。最終的にできた軸を剛体の ξηζ 軸とする。マの運動方程式 x y z 第3章ラグランジュ形式の力学 — 一般編 η ψ y ! y !! !"# z! z !! ξ φ θ η ζ ψ ξ φ θ φ θ ζ ψ x y !"#z φ θ ψ φ θ ψ φ θ ψ x !"#y z ξ η x!! 図 3.3: オイラー角 ζ x!