Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5

PD Dr. T. Timmermann
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Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie
Übungsblatt 5
Musterlösung zu Zusatzaufgabe 5
Zusatzaufgabe 5.
Wir betrachten (Z, τp ) für ein p > 2. Zeigen Sie:
T
(a) Ist nα := 1 + p + p2 + · · · + pα , so gilt α∈N A(nα , α + 1) = ∅; insbesondere ist
(Z, τp ) nicht kompakt.
(Hinweis: Liegt m in dem Schnitt, so unterscheiden Sie die Fälle m < 0 und m ≥ 0
und folgern Sie in beiden Fällen, dass m beliebig klein/groß sein muss.)
(b) Jede der Mengen A(n, α) ist abgeschlossen und homöomorph zu (Z, τp ).
(c) (Z, τp ) ist nicht lokal-kompakt.
Lösung: (a) Angenommen, m liegt in dem Schnitt.
Fall 1: m ≥ 0. Wähle α mit m < pα . Dann folgt ein Widerspruch zu m ∈ A(nα , α + 1),
weil nα < pα+1 und somit alle nichtnegativen Zahlen in A(nα , α + 1) mindestens so
groß wie pα sind.
Fall 2: m < 0: Wähle α mit m > −pα (p − 2)/(p − 1). Dann folgt ein Widerspruch zu
m ∈ A(nα+1 , α + 2), weil nα − pα+1 < pα+1 /(p − 1) − pα+1 = −pα+1 (p − 2)/(p − 1) und
somit alle negativen Zahlen in A(nα , α + 1) kleiner als −pα+1 (p − 2)/(p − 1) sind.
(b) Seien n, α fest. Dann ist das Komplement von A(n, α) gleich der Vereinigung
der A(n + i, α) für i = 1, . . . , pα − 1 und somit offen. Außerdem ist die Abbildung
Z → A(n, α), q 7→ n + qpα , bijektiv und das Bild einer Menge A(n0 , α0 ) unter dieser
Abbildung ist gerade A(n + n0 pα , α + α0 ).
(c) Ist (Z, τp ) lokal-kompakt und V eine kompakte Umgebung von 0, so enthält V ein
A(0, α) und dieses muss dann als abgeschlossene Teilmenge selbst kompakt sein. Da Z
homöomorph dazu ist, wäre dann auch Z kompakt.
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