Musterlösung zu Blatt 10
Höhere Mathematik II (P/MP/ET/IT/I-I)
Sommersemester 2016
37 Die Drehung um den Winkel
D π4 =
π
4
ist nach 42.3 gegeben durch die Matrix
√
√ !
!
2
2
−
cos π4 − sin π4
2
2
=
√
√
2
2
cos π4
sin π4
2
2
√
und die Spiegelung an der Geraden g = {y ∈ R2 | u • y = 0} mit u = 21 ( 3, 1)T
nach 42.4 b) durch die Matrix
√ !
−1 − 3
1
T
Sg = I − 2uu =
.
√
2 − 3
1
Damit lautet die gesuchte Matrix:
D π4 Sg D π4
√ !
−1 − 3
= Sg
√
− 3
1
1
=
2
38 a) Durch
ẋ − 4x = −3e−3t
⇔
ẋ = 4x − 3e−3t
ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung gegeben. Die allgemeine Lösung lässt sich mit Hilfe einer speziellen Lösung und der allgemeinen
Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung beschreiben.
Bestimme zunächst die allgemeine Lösung xh der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Allgemein hat eine Differentialgleichung der Form
ẋ(t) = a(t) · x(t)
nach Feststellung 43.1 die Lösung x(t) = CeA(t) mit C ∈ R und einer Stammfunktion
A von a. Bei der vorliegenden homogenen Differentialgleichung ist
xh (t) = Ce4t
mit C ∈ R.
Eine spezielle Lösung xs der inhomogenen Differentialgleichung
ẋ(t) = a(t) · x(t) + b(t)
ergibt sich durch Variation der Konstanten 43.3:
xs (t) = C(t)eA(t)
mit
Ċ(t) = b(t)e−A(t)
Bei der vorliegenden inhomogenen Differentialgleichung ist
Ċ(t) = −3e−7t , d.h. C(t) =
1
3 −7t
e
7
und somit:
3 −3t
e
7
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist schließlich die Summe xs + xh , also:
3
x(t) = e−3t + Ce4t
7
xs (t) =
b) Durch
⇔
ẋ = (1 + x) cos t
ẋ = cos t x + cos t
ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung gegeben, die sich
wie in Teil a) lösen lässt.
Bestimme zunächst die allgemeine Lösung xh der zugehörigen homogenen Differentialgleichung:
xh (t) = Cesin t
mit C ∈ R.
Eine spezielle Lösung xs ergibt sich mittels
Ċ(t) = cos te− sin t , d.h. C(t) = −e− sin t
und somit:
xs (t) = −1
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist schließlich die Summe xs + xh , also:
x(t) = −1 + Cesin t
39 Die Differentialgleichung
2ẋ + x = 2(t − 1)x3
⇔
ẋ = − 12 x + (t − 1)x3
ist eine Bernoulli-Differentialgleichung mit α = 3. Für die Funktion y := x−2 ergibt
sich nach 43.6 die inhomogene lineare Differentialgleichung
ẏ = y − 2(t − 1) .
Diese lässt sich wie in Aufgabe 38 lösen. Die Lösung der zugehörigen homogenen
Differentialgleichung ist
yh (t) = Cet
mit C ∈ R. Eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ergibt sich
durch Variation der Konstanten:
Ċ(t) = −2(t − 1)e−t , d.h. C(t) = 2te−t
(mit partieller Integration)
und somit:
ys (t) = 2t
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist schließlich die Summe ys + yh , also:
y(t) = 2t + Cet
2
Rücksubstitution der Variablen ergibt
1
x(t) = (y(t))− 2 = √
1
2t + Cet
( +“, da x(0) = 1 > 0) als allgemeine Lösung der Bernoulli-Differentialgleichung.
”
Die Lösung des Anfangswertproblems mit x(0) = 1 ergibt sich durch Einsetzen:
1
√ = 1
C
⇔
x(0) = 1
⇔
C = 1
Die Lösung des Anfangswertproblems lautet also:
x(t) = √
1
2t + et
(auf einem geeigneten Intervall um den Nullpunkt)
40 Wegen der Anfangsbedingung kann im Folgenden t, x > 1 vorausgesetzt werden (in
t = 1 ist die Differentialgleichung zum Beispiel nicht definiert). Durch
ẋ =
x log x
t log t
ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen gegeben. Allgemein hat eine
Differentialgleichung der Form
ẋ = f (t) · g(x)
nach Satz 44.4 (auf geeigneten Intervallen) die Lösungen x(t) = G−1 (F (t) + C) mit
C ∈ R, wobei F eine Stammfunktion von f und G eine Stammfunktion von g1 ist.
1
und g(x) = x log x und
Bei der vorliegenden Differentialgleichung ist f (t) = t log
t
somit
F (t) = log(log t) + C
und
G(x) = log(log x)
mit C ∈ R (beachte, dass es hier genügt, bei einer der beiden Stammfunktion eine
Konstante zu addieren). Dies ergibt
log(log t)+C
x(t) = ee
= elog t·e
C
= tD
mit D := eC > 0.
Die Lösung des Anfangswertproblems mit x(2) = 8 ergibt sich durch Einsetzen:
x(2) = 8
⇔
2D = 8 = 23
⇔
D = 3
Die Lösung des Anfangswertproblems lautet also
x(t) = t3
auf (1, ∞).
sawo
3
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