年番号 1 p p 曲線 y = x 上の点 P(t; t) から直線 y = x へ垂線を引き，交点を H とする．ただし，t > 1 4 とする．このとき，以下の問いに答えよ．氏名半径 3 cm の半球形の容器の中に 8¼ cm3 の水が入っている．この容器の水の中に半径 r cm の鉄の球を静かに入れた．このとき下の断面図のように，鉄の球は水面と上端で接した．r の値を求めなさい．ただし，容器から水がこぼれることはないものとする． (1) H の座標を t を用いて表せ． p (2) x = 1 の範囲において，曲線 y = x と直線 y = x および線分 PH とで囲まれた図形の面積を S1 とするとき，S1 を t を用いて表せ． p (3) 曲線 y = x と直線 y = x で囲まれた図形の面積を S2 とすると，S1 = S2 であるとき，t の値を求めよ．（九州大学 2011 ） 2 関数 f(x) = x3 ¡ 6x2 + 9x ¡ 1 について次の問いに答えよ． (1) 関数 f(x) の極値を求め，y = f(x) のグラフをかけ． (2) y = f(x) のグラフ上の点 A(2; 1)，B(4; 3) における接線の方程式をそれぞれ求めよ． (3) (2) で求めた 2 本の接線と曲線 y = f(x) (2 5 x 5 4) で囲まれた領域の面積を求めよ．（山口大学 2015 ）（鳥取大学 2012 ） 3 いくつかの玉が入った箱 A と箱 B があるとき，次の試行 T を考える． (試行 T) 箱 A から 2 個の玉を取り出して箱 B に入れ，その後，箱 B から 2 個の玉を取り出して箱 A に入れる． 5 xy 平面内の領域最初に箱 A に黒玉が 3 個，箱 B に白玉が 2 個入っているとき，以下の問いに答えよ． (1) 試行 T を 1 回行ったときに，箱 A に黒玉が n 個入っている確率 pn (n = 1; 2; 3) を求めて既約分数で表せ． (2) 試行 T を 2 回行ったときに，箱 A に黒玉が n 個入っている確率 qn (n = 1; 2; 3) を求めて既約分数で表せ． (3) 試行 T を 3 回行ったときに，箱 A の中がすべて黒玉になっている確率を求めて既約分数で表せ．（九州大学 2012 ） x2 + y2 5 2; x 51 で，曲線 C : y = x3 + x2 ¡ x の上側にある部分の面積を求めよ．（京都大学 2016 ）