OP = ¡!p ，¡! (2) ¡! (3)

1
3 辺の長さが OP = 5，OQ = 6，PQ = 7 である 4OPQ の内心を I とし，直線 OI と辺 PQ の交点を C と
¡! ¡
! ¡! ¡
!
する．また，OP = p ，OQ = q とおく．
(1) 面積比 4IOP : 4IOQ : 4IPQ を求めよ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) OC を p と q で表せ．
¡
! ¡
! ¡
!
(3) OI を p と q で表せ．
¡!
¡
!
¡
! ¡
! ¡
!
(4) 点 R を，QR = ¡ p となるようにとり，4OQR の内心を J とする．このとき，kOI ¡ OJ と p が平行
となる k の値を求めよ．
（南山大学 2016 ）
2
平面上の 4OAB において，ÎOAB の二等分線と線分 OB との交点を P，ÎOBA の二等分線と線分 OA と
¡!
の交点を Q とおく．直線 AP と直線 BQ との交点を R とおく．OA = x，OB = y，AB = 1 とし，OA，
¡!
¡
! ¡
!
OB と平行で向きが同じである単位ベクトルをそれぞれ u ， v とおく．このとき次の問いに答えよ．
¡!
¡
!
(1) OP を x; y; v を用いて表せ．
¡!
¡
! ¡
!
(2) OR を x; y; u ; v を用いて表せ．
(3) 直線 OR と直線 AB が垂直であるとき，直線 AB と直線 PQ が平行となることを示せ．
¡
! ¡
!
¡!
¡!
(4) 2 u ¢ v = ¡1 であり，x; y が変化するとき，OR の大きさが最大となるときの x; y の値と OR の大き
さをそれぞれ求めよ．
（同志社大学 2016 ）
3
4 面体 OABC は，
¡! ¡!
¡! ¡!
¡! ¡!
OA ¢ OA = 9; OA ¢ OB = 3; OB ¢ OB = 14;
¡! ¡!
OA ¢ OC = 1;
¡! ¡!
OB ¢ OC = 3;
¡! ¡!
AC ¢ BC = 5
¡! ¡!
¡!
を満たすものとする．また，直線 AB 上の点 D を，OD と AB が垂直になるようにとり，実数 m を OD =
¡!
¡!
¡
!
¡! ¡
!
¡! ¡
!
¡!
mOA + (1 ¡ m)OB となるように定める． a = OA， b = OB， c = OC とおくとき，次の問いに答
えよ．
(1) m の値を求めよ．
(2) m < s < 1 を満たす実数 s に対し，辺 AB を (1 ¡ s) : s に内分する点 P をとる．さらに，直線 AC 上の
¡! ¡!
¡!
¡
!
¡
!
点 Q を，OP と PQ が垂直になるようにとり，実数 t を OQ = t a + (1 ¡ t) c となるように定める．t を
s を用いて表せ．
(3) (2) の t に対し，0 < t < 1 が成り立つことを示せ．
（大阪市立大学 2016 ）
4
座標空間に 4 点
O(0; 0; 0);
A(s; s; s);
B(¡1; 1; 1);
C(0; 0; 1)
がある．ただし，s > 0 とする．t; u; v を実数とし，
¡
! ¡!
¡!
d = OB ¡ tOA;
¡
! ¡!
¡!
¡!
e = OC ¡ uOA ¡ vOB
とおく．次の問いに答えよ．
¡! ¡
!
(1) OA ? d のとき，t を s を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(2) OA ? d ，OA ? e ， d ? e のとき，u; v を s を用いて表せ．
(3) (2) のとき，2 点 D，E を
¡! ¡
!
OD = d ;
¡! ¡
!
OE = e
となる点とする．四面体 OADE の体積が 2 であるとき，s の値を求めよ．
（広島大学 2016 ）

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