年番号 1 初めに赤玉 2 個と白玉 2 個が入った袋がある．その袋に対して以下の試行を繰り返す． 3 氏名 1 から n までの番号が 1 つずつ書かれている n 個の球が，袋の中に入っている．この袋の中から 3 個の球を同時に取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，n = 3 とする． ‘ まず同時に 2 個の玉を取り出す． ’ その 2 個の玉が同色であればそのまま袋に戻し，色違いであれば赤玉 2 個を袋に入れる． (1) n = 5 のとき，球に書かれている 3 つの数のうち，2 つだけが連続している確率を求めよ． “ 最後に白玉 1 個を袋に追加してかき混ぜ，1 回の試行を終える． (2) 球に書かれている 3 つの数のうち，2 つだけが連続している確率 p(n) を求めよ． n 回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を Xn とする． (3) 球に書かれている 3 つの数のうち，どの 2 つも連続していない確率 q(n) を求めよ． (4) p(n) の最大値と，そのときの n の値を求めよ． (1) X1 = 3 となる確率を求めよ． (2) X2 = 3 となる確率を求めよ．（福井大学 2015 ） (3) X2 = 3 であったとき，X1 = 3 である条件付き確率を求めよ．（北海道大学 2015 ） 4 1 から 10 までの番号が 1 つずつ重複せずに書かれた 10 枚のカードがあり，左から小さい番号の順に横 1 列に並べてある．この中から，無作為に 2 枚のカードを選び，その場所を入れかえる操 2 作を考える．n を正の整数として，この操作を n 回行ったとき，左端にあるカードに書かれてい n を自然数とするとき，以下の問いに答えよ． (1) 白玉 4 個，赤玉 3 個が入っている袋から，2 個の玉を同時に取り出すとき，白玉と赤玉が 1 個る番号が 1 である確率を pn とする．以下の問いに答えなさい． (1) p1 を求めなさい．ずつ出る確率を求めよ． (2) 白玉 4 個，赤玉 n 個が入っている袋から，2 個の玉を同時に取り出すとき，白玉と赤玉が 1 個 (2) n 回目の操作のあと，1 が書かれたカードが左端になく，(n + 1) 回目の操作のあとに 1 が書かれたカードが左端にある確率を qn とするとき，qn を pn を用いて表しなさい．ずつ出る確率 pn を求めよ． (3) pn > pn+1 をみたす n の範囲を求めよ． (3) pn+1 と pn の間に成り立つ関係式を求めなさい． (4) pn が最大となる n をすべて求めよ． (4) pn を n を用いて表しなさい．（会津大学 2015 ）（首都大学東京 2013 ） 5 7 次の問いに答えよ． (1) r > 0 を定数とする．点 (x; y) が楕円 4x2 + y2 = r2 上を動くとき，6x + 4y のとり得る値の範囲を求めよ．座標平面上に，点 A(0; ¡2) と円 C : x2 + (y ¡ 2)2 = 4 がある．円 C 上の点 P に対し，線分 AP の中点を M，M を通り AP に垂直な直線を ` とする．下の問いに答えよ． (1) 点 P が円 C 上を動くとき，点 M の軌跡を求めよ． 6x + 4y + 5 (2) x; y がすべての実数値をとるとき，の最大値と最小値を求めよ． 4x2 + y2 + 15 （弘前大学 2015 ） (2) 直線 ` が円 C に接するとき，点 M の座標を求めよ． (3) 点 P が円 C 上を動くとき，直線 ` が通る点全体の領域を求め，図示せよ．（東京学芸大学 2013 ） 6 座標平面上の楕円 (y ¡ 1)2 (x + 2)2 + =1 16 4 ÝÝ1 を考える．以下の問いに答えよ． (1) 楕円 1 と直線 y = x + a が交点をもつときの a の値の範囲を求めよ． (2) x + y = 1 を満たす点 (x; y) 全体がなす図形の概形をかけ． (3) 点 (x; y) が楕円 1 上を動くとき， x + y の最大値，最小値とそれを与える (x; y) をそれぞれ求めよ．（九州大学 2014 ）