力学・同演習中間試験問題 (全 5 問) 担当教員：若狭智嗣試験日：7 月 2 日注意：解答に際しては，途中計算を適宜記載すること。問１位置座標 (x, y, z) にいる質点の持つ位置エネルギー V が、 V = x f (r) で与えられる場合を考える。ただし、r = √ x2 + y 2 + z 2 であり、f (r) は r の関数である。以下の問いに答えよ。ただし、f (r) の r に対する微分は f 0 (r) と記述すればよい。 1.1 質点に働く力の x 成分 Fx 、y 成分 Fy 、z 成分 Fz を各々求めよ。 1.2 質点の原点のまわりの力のモーメントの x 成分 Nx 、y 成分 Ny 、z 成分 Nz を各々求めよ。 1.3 質点の原点のまわりの角運動量の x 成分 lx 、y 成分 ly 、z 成分 lz のうち、保存するものを全てあげよ。問２床の上に線密度 ρ の鎖がとぐろを巻いている。時刻 t = 0 から、この鎖を一定の速さ v で鉛直に引き上げる。重力加速度の大きさを g として、以下の問いに答えよ。 2.1 鎖を長さ l だけ引き上げたときと、それから単位時間だけ経過したときの間の運動量の変化を求めよ。 2.2 2.1 の結果を考慮し、鎖を長さ l だけ引き上げたときの、鎖の上端に働く引き上げる力の大きさを求めよ。 2.3 鎖を長さ l だけ引き上げるためにした仕事の大きさを求めよ。 2.4 2.3 で鎖の得た力学的エネルギーを求めよ。 2.5 2.3 で求めた仕事と 2.4 で求めた力学的エネルギーが等しくない場合、その差がどうなったか答えよ。問３太陽は銀河中心から約 3 万光年 (= 3 × 1020 m) のところを周期約 2 億年 (= 7 × 1015 s) で公転している。以下では簡単の為、太陽は銀河系の最も外にあり、公転軌道は円とする。万有引力定数 G = 7 × 10−11 N · m2 /kg2 として以下の問いに答えよ。 3.1 銀河系の質量を推定せよ (オーダーが合っていれば正答とする)。 3.2 太陽の質量は 2 × 1030 kg である。銀河系が全て太陽と同じ質量を持つ恒星から構成されているとして、恒星の数を推定せよ (オーダーが合っていれば正答とする)。裏面に続く。問４電車の中に、質量の無視できる長さ ` の糸の先に質量 m の質点がついた振り子を吊した。電車に固定された鉛直軸からの振れ角を θ とする。電車が定速走行中、振り子は θ = 0 で鉛直方向に静止していたが、時刻 t = 0 に電車にブレーキがかかったため、最大 θ = φ(> 0) まで振れ、電車が停止するまでにちょうど n 回振れた (n > 1)。ブレーキによる加速度の大きさは一定であるとして、以下の問いに答えよ。なお、重力加速度の大きさを g とし、空気抵抗は無視できるものとする。 4.1 電車の加速度の大きさを a として、振れ角 θ の満たす運動方程式を求めよ。ただし、θ の大きさは十分小さいものとし、sin θ ∼ θ、cos θ ∼ 1 と近似せよ。 (ヒント:糸に対して垂直な方向の運動方程式を考えよ。) 4.2 t = 0 での初期条件を考慮して 4.1 の運動方程式を解き、t = 0 から電車が静止するまでの θ を t の関数として表せ。 4.3 最大の振れ角が φ であることを用いて a の値を求め、g と φ を用いて表せ。 4.4 電車が静止する時刻を求め、`、g 、n を用いて表せ。 4.5 定速走行中の電車の速さを求め、`、g 、n、φ を用いて表せ。問５長さ l の一様な棒が図のように、水平な床と高さ h の垂直な壁のふちとにかかっている。壁および床との摩擦係数を µ とする。棒が滑り出す直前の棒と水平面のなす角を θ とすると、 2µh = sin2 θ cos θ (1 + µ2 )l が成り立つことを示せ。