複素関数論 第 8 回小テスト解答例 担当: 南 問. 教科書 p.91 の例題 1(1) の積分 ∫ z̄ dz, C : 0 から 1 + i に至る線分 C について、z(t) = (1 + i)et (t ∈ R) とおいて計算したい。以下の問いに答えよ。 (1) 被積分関数 z̄ を t を用いて表せ。 f (z(t)) = z(t) = (1 − i)et (2) z ′ (t) を求めよ。 z ′ (t) = (1 + i)et (3) z(t) を 0 から 1 + i まで変化させるとき、対応する t の範囲を定めよ。 −∞ < t ≦ 0 (4) 曲線 C として (3) の範囲で z(t) の t を変化させるとき、積分の値を計算せよ。 ∫ ∫ 0 f (z) dz = f (z(t)) z ′ (t) dt −∞ C ∫ 0 = −∞ ∫ 0 = −∞ (1 − i)et (1 + i)et dt [ ]0 2e2t dt = e2t −∞ = 1.
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