(1) a > 0 - SUUGAKU.JP

1
n を自然数とする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1) a > 0，n = 3 のとき，次の不等式が成り立つことを証明しなさい．
n
(1 + a) >
1
n(n ¡ 1)(n ¡ 2)a3
6
(2) r > 1 のとき，極限値
lim
n!1
n2
rn
を求めなさい．
2
原点を O とする座標平面上に 2 点 A(1; 0)，B(0; 1) をとり，O を中心とする半径 1 の円の第 1 象限にある
部分を C とする．3 点 P(x1 ; y1 )，Q(x2 ; y2 )，R は C の周上にあり，2y1 = y2 および ÎAOP = 4 Î AOR
を満たすものとする．直線 OQ と直線 y = 1 の交点を Q0 ，直線 OR と直線 y = 1 の交点を R0 とする．
ÎAOP = µ とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 点 Q の座標を µ を用いて表せ．
(2) 点 Q0 と点 R0 の座標を µ を用いて表せ．
BR0
sin x
(3) 点 P が点 A に限りなく近づくとき，
= 1 であることは用い
0 の極限を求めよ．ただし，lim
x
BQ
x!0
てよい．
3
座標平面上の放物線
Cn : y = x2 ¡ pn x + qn
(n = 1; 2; 3; Ý)
を考える．ただし，pn ; qn は
p21 ¡ 4q1 = 4;
p2n ¡ 4qn > 0
(n = 2; 3; 4; Ý)
を満たす実数とする．Cn と x 軸との二つの交点を結ぶ線分の長さを `n とする．また，Cn と x 軸で囲まれ
た部分の面積 Sn は
3
Sn+1
n+2
=
=% B
Sn
n(n + 1)
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1) Cn の頂点の y 座標を `n を用いて表せ．
(2) 数列 f`n g の一般項を求めよ．
p
2qn
(3) pn = n n (n = 1; 2; 3; Ý) であるとき， lim n log $¡ 2 < を求めよ．ただし，log x は x の自然対
n!1
n
数である．
4
B
a; b を実数とする．f(x) = 2 1 + x2 ¡ ax2 とし，x についての方程式 f(x) = b を考える．次の問い
に答えよ．
(1) a > 0 のとき，関数 f(x) の最大値を求めよ．
(2) 方程式 f(x) = b の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点 (a; b) の範囲を図示せよ．
5
a を 0 < a < 1 を満たす実数として x の関数 f(x) = ax ¡ log(1 + ex ) の最大値を M(a) とするとき，
次の問いに答えよ．ただし必要があれば
lim x log x = 0
x!+0
が成り立つことを用いてよい．
(1) M(a) を a を用いて表せ．
(2) a の関数 y = M(a) の最小値とそのときの a の値を求めよ．
(3) a の関数 y = M(a) のグラフをかけ．
6
次の問いに答えよ．
2x + 5
(0 5 x 5 2) の逆関数を求めよ．また，その定義域を求めよ．
x+2
(2) 次の関数の導関数を求めよ．
(1) 関数 y =
x
2
e
y= p
sin x
(3) 次の不定積分，定積分を求めよ．
Z
cos3 x
‘
dx
sin2 x
Z 1
2
x
dx
’
0
(2x + 1)2
7
曲線 C : x4 ¡ 2xy + y2 = 0 に関して，以下の問いに答えよ．
(1) C 上の点で，x 座標が最大となる点と，y 座標が最大となる点をそれぞれ求めよ．
(2) C で囲まれた図形の面積を求めよ．
8
a を正の定数とし，2 曲線 C1 : y = log x，C2 : y = ax2 が点 P で接しているとする．以下の問に答えよ．
(1) P の座標と a の値を求めよ．
(2) 2 曲線 C1 ，C2 と x 軸で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
9
2 つの曲線 y = x + 2 cos x #
曲線を C とする．
3
¼
3
¼
5x5
¼; と y = x ¡ 2 cos x #
5x5
¼; をつないでできる
2
2
2
2
(1) 曲線 C の概形を図示しなさい．
(2) k を実数とする．曲線 C と直線 y = k が異なる 2 点で交わるための k の値の範囲を求めなさい．
(3) 曲線 C で囲まれた部分を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めなさい．
10 a は正の数とし，次の関数 y = fa (x) のグラフの変曲点を P とする．
x
fa (x) = axe¡ a
(x = 0)
このとき以下の問いに答えよ．
(1) 点 P の座標を求めよ．
(2) a が区間 1 5 a 5 2 全体を動くとき，点 P が描く曲線 C の概形を図示せよ．
(3) x = 0 における曲線 y = f1 (x)，y = f2 (x) と (2) の曲線 C の 3 曲線で囲まれた部分の面積を求めよ．

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