一般前期文系

1 一辺の長さが 1 の正方形 OABC を底面とし，OP = AP = BP = CP をみたす点 P を頂点とする四角錐
POABC がある。辺 AP を 1 : 3 に内分する点を D, 辺 CP の中点を E, 辺 BC を t : (1 − t) に内分する点を
Q とする。このとき，以下の問いに答えよ。
−→ −→
−→ −→ −→
(1) ベクトル OD と OE を，OA, OC, OP を用いて表せ。
−→
−→ −→ −→
(2) ベクトル PQ を，OA, OC, OP と t を用いて表せ。
−→ −→
(3) 内積 OA · OP の値を求めよ。
(4) 直線 PQ が平面 ODE に垂直であるとき，t の値および線分 OP の長さを求めよ。
(2013 年度九州大学)
2 座標平面上で，次の連立不等式の表す領域を D とする。
x + 2y ≦ 5, 3x + y ≦ 8, − 2x − y ≦ 4, − x − 4y ≦ 7
点 P(x, y) が領域 D 内を動くとき，x + y の値が最大となる点を Q とし，最小となる点を R とする。以下
の問いに答えよ。
(1) 点 Q および点 R の座標を求めよ。
(2) a > 0 かつ b > 0 とする。点 P(x, y) が領域 D 内を動くとき，ax + by が点 Q でのみ最大値をとり，点
R でのみ最小値をとるとする。このとき， a の値の範囲を求めよ。
b
(2013 年度九州大学)
3 横一列に並んだ 6 枚の硬貨に対して，以下の操作 L と操作 R を考える。
L：さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する。
R：さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する。
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作 L を行うときに，3 の目が出た場合は，裏裏表表裏表と
なる。
以下，
「最初の状態」とは硬貨が 6 枚とも表であることとする。
(1) 最初の状態から操作 L を 2 回続けて行うとき，表が 1 枚となる確率を求めよ。
(2) 最初の状態から L, R の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ。
(3) 最初の状態から L, R, L の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ。
(2013 年度九州大学)
4 座標平面上の円 (x − 1)2 + (y − 1)2 = 2 を C とする。以下の問いに答えよ。
(1) 直線 y = x − 2 は円 C に接することを示せ。また，接点の座標も求めよ。
(2) 円 C と放物線 y = 1 x2 − 1 の共有点の座標をすべて求めよ。
4
(3) 不等式 y ≧ 1 x2 − 1 の表す領域を D とする。また，不等式 |x| + |y| ≦ 2 の表す領域を A とし，不等式
4
(|x| − 1)2 + (y − 1)2 ≦ 2 の表す領域を B とする。そして，和集合 A ∪ B, すなわち領域 A と領域 B を
合わせた領域を E とする。このとき，領域 D と領域 E の共通部分 D ∩ E を図示し，さらに，その面
積を求めよ。
(2013 年度九州大学)
回一辺の長さが1の正方形OABCを底面とし，OP＝AP＝BP＝CPをみたす点Pを頂点とする四角錐
POABCがある。辺APを1：3に内分する点をD，辺CPの中点をE，辺BCをt：（1−t）に内分する点を
Qとする。このとき，以下の問いに答えよ。
（1）ベクトルODとOEを，OA，OC，OPを用いて表せ。
（2）ベクトルPQを，OA，OC，OPと壬を用いて表せ。
（3）内積忘・蒜の値を求めよ。
（4）直線PQが平面ODEに垂直であるとき，士の値および線分OPの長さを求めよ。
（2013年度九州大学）
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回座標平面上で，次の連立不等式の表す領域を刀とする。
∬＋2封≦5，3コフ＋封≦8，−2エー封≦4，−エー4呈／≦7
点P（諾，封）が領域か内を動くとき，〇十封の値が最大となる点をQとし，最小となる点をRとする。以下
の問いに答えよ。
（1）点Qおよび点Rの座標を求めよ。
（2）α＞0かつら＞0とする。点P（芯，y）が領域か内を動くとき，α〇＋byが点Qでのみ最大値をとり，点
Rでのみ最小値をとるとする0このとき・号の値の範囲を求めよ0
（2013年度九州大学）
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回横一列に並んだ6枚の硬貨に対して，以下の操作しと操作Rを考える。
L：さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する。
R：さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する。
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作しを行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表と
なる。
以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする。
（1）最初の状態から操作しを2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ。
（2）最初の状態からL，Rの順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ。
（3）最初の状態からし，R，しの順に換作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ。
（2013年度九州大学）
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回座標平面上の円（ズー1）2＋（訂一1）2＝2をCとする。以下の問いに答えよ。
（1）直線y＝エー2は円Cに接することを示せ。また，接点の座標も求めよ。
（2）円Cと放物酌＝吉￡2−1の共有点の座標をすべて求めよ0
（3）不等式y≧‡諾2−1の表す領域を刀とする0また・不等式回＋】y−≦2の表す領域をAとし，不等式
（同一1）2＋（y−1）2≦2の表す領域をβとする。そして，和集合Au月，すなわち領域Aと領域βを
合わせた領域を且とする。このとき，領域かと領域且の共通部分か∩丘Tを図示し，さらに，その面
積を求めよ。
（2013年度九州大学）
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（3）傾戒八・ユ4良（三上・り・（。、H）も侵点と耶甚紬の礪おけ・同上りす
舶路・コ机湖山鶴と細目断恥欄的出現勘の碩倉移了
㊤nE11J司の頒疇孝で■士鯛も雀亮

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