1 + - SUUGAKU.JP

1
n を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) 二項定理を用いて，
n
P
k=0
n Ck
= n C0 + n C1 + Ý + n Cn¡1 + n Cn の値が 2n に等しいことを示せ．
(2) 複素数 z が z2 ¡ 2z + 2 = 0 をみたすとき，z および z4n の値を求めよ．
2n
P
(3)
(¡1)k ¢ 4n C2k = 4n C0 ¡ 4n C2 + Ý ¡ 4n C4n¡2 + 4n C4n の値が (¡4)n に等しいことを示せ．
k=0
（福井大学 2012 ）
2
p
¼
¼
¼
，ÎAOC =
，ÎBOC =
であるとする．また，3 点 O，A，B を含む平面を ® とし，点 C から平面 ® に下ろした垂
四面体 OABC において，OA = 2，OB = 2，OC = 1 であり，ÎAOB =
2
3
4
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
線と ® との交点を H，平面 ® に関して C と対称な点を K とする．OA = a ，OB = b ，OC = c とおくとき，以下の問いに答えよ．
¡
! ¡
! ¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
(1) 内積 a ¢ b ; b ¢ c ; c ¢ a を求めよ．
¡! ¡! ¡
! ¡
! ¡
!
(2) OH; OK を a ; b ; c を用いて表せ．
¡!
¡
! ¡
!
(3) 4ABC の重心を G とし，平面 ® 上の点 P で GP + PC を最小にする点を P0 とする．このとき，OP0 を a ; b を用いて表せ．また，点 P0 は 4OAB の周または内部にあることを示せ．
（福井大学 2012 ）
3
n を 2 以上の整数とし，袋の中に，白玉が 5 個，赤玉が n 個入っているとする．この袋から 2 個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が白玉と赤玉 1 個ずつである確率を pn とし，また，取り出し
た白玉の数を X とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) pn を求めよ．
(2) pn が最大になる n の値と，そのときの pn の値を求めよ．
(3) X の期待値が 0:625 になるとき，n の値を求めよ．
（福井大学 2012 ）
4
p
¼
¼
¼
，ÎAOC =
，ÎBOC =
であるとする．また，3 点 O，A，B を含む平面を ® とし，点 C から平面 ® に下ろした垂
四面体 OABC において，OA = 2，OB = 2，OC = 1 であり，ÎAOB =
2
3
4
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
線と ® との交点を H，平面 ® に関して C と対称な点を D とする．OA = a ，OB = b ，OC = c とおくとき，以下の問いに答えよ．
! ¡
! ¡
!
¡! ¡! ¡
(1) OH; OD を a ; b ; c を用いて表せ．
(2) 四面体 OABC の体積を求めよ．
¡!
¡
! ¡
!
(3) 4ABC の重心を G とし，面 OAB 上の点 P で CP + PG を最小にする点を P0 とする．このとき，OP0 を a ; b を用いて表し，CP0 + P0 G の値を求めよ．
（福井大学 2012 ）
5
数列 fan g は正の整数からなる数列で，a1 = 1; a3 = 5; a5 = 41 である．また，ある定数 s; t について
an+1 = san + t (n = 1; 2; 3; Ý)
が成り立っている．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) s; t の値を求めよ．
(2) 数列 fan g の一般項を求めよ．
n
P
(3) 正の整数 n に対して，Sn =
(¡1)ak ak を n の式で表せ．
k=1
（福井大学 2012 ）
6
曲線 C : y = e¡x 上の点 A(a; e¡a ) における法線を ` とし，` に関して点 (a; 0) と対称な点を B，直線 AB と y 軸との交点を P とする．点 P の y 座標を f(a) とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1) f(a) を a を用いて表せ．
(2) a が実数全体を動くとき，f(a) の最大値とそのときの a の値を求めよ．
(3) a を (2) で求めた値とするとき，曲線 C，y 軸と線分 AP で囲まれた部分を，y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
（福井大学 2012 ）

Download Report