問題1 座標平面上の直線 y = −1 を l1、直線 y = 1 を l2 とし、x 軸上の2

問題１
座標平面上の直線 y = −1 を `1 、直線 y = 1 を `2 とし、x 軸上の２点
O(0, 0),A(a, 0) を考える。点 P(x, y) について、次の条件を考える。
1
·········
d (P, `1 ) = PO, d (P, `2 ) = PA
ただし、d (P, `) は点 P と直線 ` の距離である。
1 を満たす点 P が存在するような a の値の範囲を求めよ。
(1) 条件
1 を満たす点 P 全体がなす図形の面積 S を a を用いて表せ。ただし、
(2) 条件
a の値は (1) で求めた範囲にあるとする。
【2014 九州大学】
解答
y
(1)
d (P, `1 ) = PO より、(x, y) の条件は
√
|y + 1| = x2 + y 2
1
α
⇔ y 2 + 2y + 1 = x2 + y 2
1 1
⇔ y = − + x2
2 2
−2
−1
O
1 β
−1
d (P, `2 ) = PA より、(x, y) の条件は
√
2
|y − 1| = (x − a) + y 2
2
⇔ y 2 − 2y + 1 = (x − a) + y 2
1 1
2
⇔ y 5 − (x − a)
2 2
これらを満たす y があるために、
1 1
1 1
2
− + x2 5 − (x − a)
2 2
2 2
1
⇔ x2 − ax + a2 − 1 5 0
2
つぎにこれを満たす x があるために、
(
)
1 2
2
a −4
a −1 =0
2
∴ −2 5 a 5 2
(2) (1) の２つの放物線の交点の x 座標 α, β(α < β) は２次方程式
1
x2 − ax + a2 − 1 = 0
2
c
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-1-
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2
x
の２解であるから、
2
2
(β − α) = (α + β) − 4αβ
(
)
1 2
2
=a −4
a − 1 = −a2 + 4
2
求める面積 S は
S=
)√
1( 2
1
3
(β − α) =
−a + 4
−a2 + 4
6
6
c
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