環境基礎物理学演習 2009 第 2 章力学的エネルギー 2 章の練習問題 B 解答 (p 20) 【問題 2-4 の答】 (1) バネの伸びを x とすると、フックの法則 f = k x より、2 m g = k x であるから、x = 2mg k (2) 上下のバネの伸びをそれぞれ x1 、x2 とすると、張力は上のバネが 3 m g、下のバネが 2 m g だから、 3 m g = k x1 、m g = 2 k x2 。これより、x1 = mg 7mg 3mg 、x2 = 。したがって、x1 + x2 = k 2k 2k (3) 同様に上下のバネの伸びをそれぞれ x1 、x2 とすると、張力はどちらも 2 m g だから、2 m g = k x1 、 2 m g = 2 k x2 。これより、x1 = 2mg mg 3mg 、x2 = 。したがって、x1 + x2 = k k k 【問題 2-5 の答】 (3) 電荷 D から受ける引力、左上水平から 30 度の方向に f0 、電荷 B から受ける引力は、左下水平から 30 √ 度の方向に f0 である。これらの合力は、垂直成分同士が打ち消しあうので、図の左側に 3 f0 である。 √ 一方電荷 A から受ける斥力は、図の右側に働き、その大きさは電荷間の距離が、 3a であるところから、 ¡√ 1¢ 1/3 f0 となる。したがって、3 つの電荷による合力は、図の左側へ、 3 − f0 である。 3 (4) 対称性から、力の向きは底面の中心から A 点に向かう方向である。そこで、それぞれの電荷から電荷 D に働く力のこの方向の分力を求め、その和を計算する。・D から底面におろした垂線の長さを L とすると、A、B、C それぞれの電荷からの分力ベクトルの大きさは、相似則から L f0 になる。 a ・垂線の足は底面の正三角形の重心であり、その点から底面にある電荷までの距離は、底面の正三角形の頂点から、他の辺におろした垂線の長さの 2 になる。 3 √ √ 3 3 ・こちらの垂線の長さは、 a であるから、重心から頂点までの長さは、 a である。この線分と、 2 3 垂線、および正三角錐の辺は直角三角形をなすから、 L2 + ( r √ √ √ 3 2 2 6 2 a) = a 、したがって L = a= a である。合力は分力の 3 倍であるから、 6 f0 3 3 3 【問題 2-6 の答】上面の深度を D、下面の深度を D + ∆ z とすると、上面での圧力は (2.15) 式より、p(z) = p0 + ρ g D、下面での圧力は p(z) = p0 + ρ g (D + ∆ z) である。したがって、上面での総圧力 PU はそこでの圧力に面積をかけて、下向きに、PU = ( p0 + ρ g D) (∆ x ∆ y) であり、下面での総圧力 PL は上向きに、PL = ( p0 + ρ g (D + ∆ z)) (∆ x ∆ y) である。これらのベクトル和をとれば、浮力は上向きに、ρ g (∆ x ∆ y ∆ z) となる。