高３理系物理 夏期補習 １日目 力学１ １ ア 球の質量は体積に比例し，体積は半径の 量は となる。よって，点 引力の法則「 乗に比例するので，半径 の球の質 において質点にはたらく重力の大きさは，万有 」より イ この点における質点の加速度を とすると，図 の中心 から点 への向きを 正として となるので，周期 は ウ 万有引力による位置エネルギー「 ので，質点 」が運動エネルギーに変化する がトンネルに入る瞬間の速さを とすると，力学的エネルギー保存 則より よって ゆえに エ 一般に物体にはたらく力が で表される運動は単振動となり，その復元 力による位置エネルギーは イ より，トンネル内では質点 となる。 にはたらく力は となり，位置エネルギーは ･ となる。特に地表における位置エネルギーは ･ となる。中心に達する直前の速さを とすると，力学的エネルギー保存則より ウ より よって -1- オ 衝突前後の速度を図のように考える。図の左向 きを正として，衝突直後の 度を の速度を ， の速 とすると，運動量保存則より …… ① また，弾性衝突であるから よって ① 式に代入して 整理して ゆえに，衝突直後の の速さは カ の速さは 問 とした場合 …… ② となる。質点 が地表に到達したときの速さを とすると， エ と同様に力学的 エネルギー保存則より よって，地表における運動エネルギーは また，物体が無限遠に飛びさるためには，運動エネルギーと万有引力による位置エ ネルギーの和が 以上であればいいので ② 式より ･ よって も も正だから ゆえに -2- キ 図のようにトンネルにそった方向の力は重力の 倍になるので，その大きさは 重力 ク イ と同様に考えて 地表から反対側の地表に出るまでの時間は 周期だから ケ エ と同様にトンネル内での位置エネルギーは 地表では なので 中心に達する直前の速さを ･ とすると，力学的エネルギー保存則より よって と同様に，衝突直後の の速度を ， の速度を とすると，運動量保存則 より …… ③ また，弾性衝突であるから よって ③ 式に代入して 整理して …… ④ 地表に到達するときの速さを とすると，到達する条件は ④ 式より ･ ･ も も正だから よって コ 物体が地表にもどってくるためには，運動エネルギーと万有引力による位置エネ ルギーの和が負であればいいので -3- ･ ･ ･ ･ 整理して も も正だから よって 問 地表から飛びだした瞬間の質点 の速さを とする。 なので，そのと きの面積速度は である。また，最も離れた地点での速さを ，中心 こでは なので，そのときの面積速度は 面積速度が一定なので よって 地表での運動エネルギーは …… ⑥ なので，力学的エネルギー保存則より よって ⑤ 式より ･ ⑥ 式より ･ 両辺を でわると よって からの距離を とすると，そ であるから -4- …… ⑤ ２ ア 点 における小球の速さを とする。半径方向の運動方程 式は，等速円運動の加速度の式 ｢ ｣ より 点 を重力による位置エネルギーの基準の高さとして，力学的 図 エネルギー保存則を用いると 以上の 式より イ となる位置で小球は面から離れる。点 に達するには ればよい。 のとき が最小値 となる。よって， ア より よって ウ 力学的エネルギー保存則より また より よって エ 力学的エネルギー保存則より よって オ 等加速度直線運動の式 ｢ ｣ より 間の鉛直方向の運動について これを について解いて -5- で にな より カ 点 から へ進む間，速度の水平成分は変化しないので より， イ ， ウ を用いて よって -6-
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