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問 A(a), B(b) を直径の両端とする球のベクトル方程式は (p − a) · (p − b) = 0 で
表されることを示せ．また，A(3, −1, 1), B(2, 1, 0) のとき，この球の方程式を求
めよ．
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解答 求める球面上の任意の点を P(p) とすると，AP⊥BP だから，
−→ −→
AP · BP = 0
となる．よって，
(p − a) · (p − b) = 0
と導くことができる．また，p = (x, y, z), a = (3, −1, 1), b = (2, 1, 0) とすると，
p − a = (x − 3, y + 1, z − 1)
p − b = (x − 2, y − 1, z − 0)
となる．求める球の方程式は，
(p − a) · (p − b) = (x − 3)(x − 2) + (y + 1)(y − 1) + (z − 1)z
= 0
と導くことができる．この式を展開すると，
x2 + y 2 + z 2 − 5x − z + 5 = 0
と求められた．

7 1 56 43 7 1 8 5 = + 56 13 56 43 1

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