４．衛星測地学の基礎０．地表面（海、陸）、電離層のモニター１．地心座標系からみた地上観測点の決定－宇宙空間における三角点（水準点）としての応用― ２．地球重力場の推定・・・衛星の運動からその原動力を知る（惑星）３．地球回転変動の観測全ての用途で衛星軌道(位置)が高精度に決定されている必要がある。１９６０年代は 10~20m の精度だったが、現在は 1m~1cm（以下） 4.1 衛星軌道力学の基礎 2 つの質点 M と m の運動 M: 𝑟! = 𝐺𝑀𝑚 𝑟! − 𝑟! m: 𝑟! = − ! 𝐺𝑀𝑚 𝑟! − 𝑟! 𝑟! − 𝑟! ① ! 𝑟! − 𝑟! ② M と m の重心の位置ベクトル 𝑟! = !!! !!!! !!! M から m の相対ベクトル 𝑟 = 𝑟! − 𝑟! とする ①＋②より、 𝑟! = ② ! 𝑀𝑟! + 𝑚𝑟! = 0 → 等速直線運動 𝑀+𝑚 ① − ! より 𝑟=− 𝐺(𝑀 + 𝑚) ③ 𝑟! M>>m より 𝑟=− 𝐺𝑀 ③ 𝑟! 人工衛星の運動を記述 ③に左から𝑟をかけて外積をとると、 𝑟×𝑟 + 𝑟× 𝐺𝑀 𝑟=0 𝑟! ! 一方、!" 𝑟×𝑟 = 𝑟×𝑟 + 𝑟×𝑟 ! したがって、!" 𝑟×𝑣 = 0である。ここで、 ℎ = 𝑟×𝑣 面積速度とすると、これは𝑟と𝑣で張られる平面に直交するベクトル →単位質量あたりの角運動量まとめると、 𝑑 ℎ = 0 ℎは一定（角運動量保存） 𝑑𝑡 衛星の運動が空間に固定された平面内で起きる。時間 dt あたりの面積変化を ds とすると、 ds = 1 𝑟×𝑣 𝑑𝑡 2 ここから、軌道の形を求める。軌道面は２次元なので、この面内で極座標(r, θ)を設定する。 x = rsinθ, y = rcosθ 時間で微分すると 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃 ! 𝑐𝑜𝑠𝜃 となるので、運動方程式は、 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃 ! 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝐺𝑀 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟! 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 + 2𝑟𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑟𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑟𝜃 ! 𝑠𝑖𝑛𝜃 = −𝐺𝑀 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑟! 軌道面の x 軸はどこに設定してもよい。その方向をθ = 0とする。（𝜃、𝜃はゼロにできない） 𝑟 − 𝑟𝜃 ! = − 𝐺𝑀 ④ 𝑟! r𝜃 + 2𝑟𝜃 = 0 ⑤ ! ④式で従属変数 r からu = ! へ、独立変数 t からθへ変更する ℎは z 成分のみ h = x𝑦 − 𝑥𝑦 = 𝑟 ! 𝜃 ⑥ ④式から ! 𝑑! 𝑢 𝐺𝑀 + 𝑢 = ! ④ ! 𝑑𝜃 ℎ 1 𝑑𝑢 1 u = とする = − ! ⑦ 𝑟 𝑑𝑟 𝑟 t からθへの変更には、⑥より dt = 𝑟! 𝑑𝜃 ⑧ ℎ du 𝑑𝑢 𝑑𝑟 𝑑𝑡 1 𝑟! 𝑟 = =− !∙𝑟∙ =− dθ 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑟 ℎ ℎ 𝑟 = −ℎ 𝑑 𝑑𝑢 𝑑𝜃 𝑑 𝑑𝑢 𝑑! 𝑢 = −ℎ = −ℎ! 𝑢! ! ⑨ 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 ここで、④’はu′ = u − !" !! とすると、 𝑑 ! 𝑢′ + 𝑢′ = 0 と同等 𝑑𝜃 ! u′ = Acos θ − ω ただし、A, ω は実数 u= 1 𝐺𝑀 = A cos 𝜃 − 𝜔 + ! ⑩ 𝑟 ℎ これは、楕円の方程式の極座標表現である。楕円の式 𝜉 ! 𝜂! + = 1 ⑪ 𝑎! 𝑏! P の位置 ξ = ae + rcosν, η = rsinν これらを⑪へ代入すると、r に関する２次方程式になり、解くと、 r= 𝑎(1 − 𝑒 ! ) ⑫ 1 + 𝑒𝑐𝑜𝑠𝜈 θ−ω=ν A = h= 𝑒 ⑬ 𝑎(1 − 𝑒 ! ) GMa(1 − 𝑒 ! ) ω：近地点引数、ν：真近点離角 a：軌道長半径 e：離心率 i：軌道傾斜角 Ω：昇交点経度 ω：近地点離角 M：平均近点離角第３法則楕円の面積 S=πab 公転周期を P とする。面積速度は 𝑑𝑠 1 = ℎ 𝑑𝑡 2 よって、 ! S= ! P= 𝑑𝑠 1 𝑑𝑡 = ℎ𝑃 𝑑𝑡 2 2𝜋𝑎𝑏 = ℎ 2𝜋𝑎𝑏 𝐺𝑀𝑎(1 − 𝑒 ! ) b = a 1 − 𝑒 ! より、𝑃 = n= !! ! 2𝜋 𝐺𝑀 (公転の角速度)平均運動を用いると、 𝑛! 𝑎! = 𝐺𝑀 ⑭ 4.2 摂動(Perturbation)を受けるとどうなるか？ 𝑟=− 𝐺𝑀 𝑟+𝑘 𝑟! ! 𝑎! 𝑘 = 地球の重力の平均 ― 有限の大きさ + (月、太陽から引力/潮汐力) +(大気抵抗)＋(太陽放射)+地球放射二体問題（ケプラー問題）：𝑘 = 0 のとき ①３本の２階微分方程式→６個の積分定数（←軌道要素/ケプラー要素） ⇕ ６本の１階微分方程式 𝑑𝑎 𝑑𝑖 𝑑𝑒 𝑑𝛺 𝑑𝜔 𝑑𝑀 = = = = = 0, = 𝑛 𝑛 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐺𝑀 𝑎! 𝑘 ≠ 0 だけど小さいとき６つの積分定数がゆっくりと時間変化する。（定数変化法の考え方、微分方程式の解法）参考木下宙「天体と軌道の力学」 𝑘のうち最大の効果：地球の偏平度 𝐽! = −𝐶!" 𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖 = = =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝛺 3𝑛𝑅!! = −𝐽! ! 𝑑𝑡 2𝑎 1 − 𝑒 ! 𝑑𝜔 3𝑛𝑅!! = −𝐽! ! 𝑑𝑡 4𝑎 1 − 𝑒 ! ! ! 𝑐𝑜𝑠𝑖 軌道面の歳差運動 1 − 5𝑐𝑜𝑠 ! 𝑖 近点引数の歳差運動 𝑑𝑀 = 𝑛 + 𝐽! 𝑑𝑡 3𝑛𝑅!! 4𝑎! 1 − ! 𝑒! ! (3𝑐𝑜𝑠 ! 𝑖 − 1) Langrange の惑星方程式昇交点経度Ωは、 0<i<90 → 西向きに摂動 90<i<180 → 東向きに摂動。地球の自転・公転と同じ向き →Ωの移動の観測から、J2 などが求まる。・なぜ、軌道面が歳差運動か？回転するコマの角運動量H 軌道面はHと直交する。そこに外力トルクLを与えるコマをたたいた時の運動は 𝐿 = 𝑟×𝑓 →Hの向きも変化人工衛星 m に働く地球の重力ポテンシャルV(𝑟)によるトルク𝐿は 𝐿 = 𝑟×𝑚∇𝑉 ∇Vを、𝑟, 𝜑, 𝜆を単位ベクトルとする球座標で表すと ∇V = 𝑟 𝜕𝑉 1 𝜕𝑉 1 𝜕𝑉 +𝜑 +𝜆 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜆 𝐿 = 𝑟×𝑚∇𝑉だから、第一項は𝐿に寄与しない 𝐺𝑀 𝑅! V 𝑟 = 1− 𝑟 𝑟 ! 𝐽! 𝑃! 𝑠𝑖𝑛𝜑 とすると、λには無関係だから、第三項は𝐿に寄与しない。よって、 1 𝜕𝑉 3𝐺𝑀𝑚𝑅!! ! 𝐿 = 𝑟×𝜑 = −𝜆 𝐽 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑟 𝜕𝜑 𝑟! 𝜆方向へのトルク、公転の角運動量ℎ →コマとの類推で歳差運動となる。 4.3 いろんな人工衛星の軌道 4.3.1 太陽同期軌道 J2 摂動による軌道面歳差を利用する。 GM=3.9686×105 km3/s2、 Re=6380km, J2=1.08×10-3 𝑑𝛺 = 0.9863 /day 𝑑𝑡 ほぼ１年でΩが 2πになる。メリット① 全地球をカバー ② 軌道面から見た太陽の方向が一定 →同じ緯度を年中同じ太陽時に通過 →太陽光の反射を利用しやすい 4.3.2 地球同期軌道（以下摂動は考えない） n= 2𝜋 23ℎ56𝑚4𝑠 より、a=42615km とすれば、地球同期する。 ① 静止衛星、e=i=0 たとえば、ひまわり欠点）高緯度が見にくい ② ８の字衛星 e=0, i≠0 メリット：高緯度でも見えるデメリット：片側半球が無駄 ③ 準天頂衛星―みちびき（日本版 GPS 衛星）e≠0, i≠0 北半球に遠地点がくるように e を設定 →北半球側の滞在時間が長い →高い仰角（真上に近い）に見える