2月4日実施分記述式解答例〔Ⅱ〕 (1)

２０１５年度
マーク式
中京大学一般入試
【数学Ⅰ・Ⅱ・Ａ】２月４日実施分
解答
〔Ⅰ〕
(1)
(2)
ア
8
テ
1
イ
4
ト
8
ウ
1
ナ
0
エ
6
二
9
オ
3
ヌ
3
カ
1
ネ
7
ノ
1
(3)
キ
2
ク
8
ハ
1
ケ
5
ヒ
1
コ
1
フ
0
サ
2
へ
1
シ
7
ホ
0
ス
6
セ
5
ソ
1
タ
2
チ
5
ツ
3
記述式解答例
y
61
図1
〔Ⅱ〕
(1)
57
y＝x2＋4x－33＝(x＋2)2－37
y＝－x2－4x＋57＝－(x＋2)2＋61
であり，この 2 式を加えると
2y＝24 より y＝12
このとき，(x＋2)2＝49 より x＝－9，5
ゆえに共有点を A，B（A の x 座標＜B の x 座標）
A
とすると，その座標は，A(－9，12)，B(5，12)
グラフは図 1 のようになる。
12
B
－2 O
－9
x
5
AB＝14 より，△OAB の面積を S とすると
1
2
S ＝ ×14×12＝84
－33
－37
また
OA＝ ( 9) 2  122 ＝15，OB＝ 5 2  122 ＝13
であるから，△OAB の内心を I ，内接円の半径を r とすると，図 2 から
△IAO＋△IOB＋△IBA＝S
すなわち
1
1
1
・15r＋・13r＋・14r＝84
2
2
2
y
A(－9，12)
B(5，12)
14
より
r
r ＝
2・84 ＝4
15  13  14
I
r
r
13
15
(2) ・x≧0 のとき
y＝4x3＋15x2－49x＋30 ………①
であるから
x
O
y ＝12x ＋30x－49
2
y ＝0 とすると，x＝ 15＋ 813
12
α＝
（x≧0 より）
 15 813
とおくと，α> 0 であり
12
0 < x <α において， y < 0
α< x において， y > 0
・x < 0 のとき
y＝4x3＋15x2＋49x＋30 ………②
であるから
y ＝12x ＋30x＋49
2
2
5
121
＝ 12 x   
>0
4
4


x
…
y´
＋
0
極大
y
…
α
…
－
0
＋
極小
以上から右の増減表を得る。
また，①，②の右辺は次のように因数分解できる。
4x3＋15x2－49x＋30＝(x－1)(x＋6)(4x－5)
3
2
y
2
A
4x ＋15x ＋49x＋30＝(4x＋3)(x ＋3x＋10)
30
よって，グラフ A は右の図のようになる。
A と x 軸との共有点の x 座標は
x＝ 
5
3
，1，
4
4
であるから，放物線 B の方程式は
3
5
y＝ a x   x  
4
4



α
－3
4
O
1
5
4
x
とおける。
これが A の極大点(0，30)を通るので
 4
30＝ a・
3・  5
4
a＝－32
したがって B の方程式は
3
5
y＝  32 x   x  
4 
4

図 2 の斜線部分の面積を S とすると
5
  4  4 
S ＝  4 32 x  3 x  5 dx
0
5


図2
y
30
B

＝－32  4 x  5  2 x  5 dx
0
＝－32

4

5
4
0
5
 x 4

 
2
4


 2 x  5  dx
4 
5
3
24

＝－32  1  x  5    x  5  
4 
4  
 3 
0
 1 125  25
＝32   
 
 3  64  16 
＝
175
6
－3 O
4
5
4
x

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