2015 早稲田大学商学部数学解答例１ (1) (ア) −n (2) (イ) − 11 2 (3) (ウ) 14 (4) (エ) 6 ２ (1) 三角形 OAB と三角形 PQR は合同であるので，その共通部分が六角形となるとき，右図のようになる．ここで，共通部分が六角形となるための条件は 3 P について，直線 AB : y = − x + 3 の上部にある 4 Q について，x 座標が負となる R について，y 座標が負となるである．これらの条件より 3 3b > − ·4a+3 4 かつ 4a−4 < 0 かつ 3b−3 < 0 すなわち a+b>1 かつ a < 1 かつ b<1 ······° 1 である．図のように点 S，T，U，V をとる． 2 つの斜線部分は合同な三角形であり，点 S の y 座標は 3(a + b − 1) であり，点 T の x 座標は 4(a + b − 1) である．よって六角形の面積は，長方形 OUPV の面積から直角三角形 OST の面積の 2 倍を引いたものであるから 1 · 4(a + b − 1) · 3(a + b − 1) 2 = 12(−a2 − b2 + 2a + 2b − ab − 1) S = 4a · 3b − 2 · :::::::::::::::::::::::::::::: となる． (2) ° 1 の範囲で考える． (1) より } {( )2 ( )2 2 b−2 3 1 b− S = −12 a+ + − 2 4 3 3 となるから，a = 2−b 2 2 かつ b = ，すなわち a = b = のとき（これは° 1 を満たす），S は最大となる．こ 2 3 3: のとき，S の最大値は ) ( 1 = :4 −12 · − 3 である．３ (1) (ii) において n = 2015 とすると f (f (2015) + 4) = 2015 (i) より f (4) = 2015 :::: となる． (2) まず \ n2 ならば f (n1 ) = \ f (n2 ) 2 整数 n1 ，n2 について，n1 = を示す．相異なる 2 つの整数 n1 ，n2 について f (n1 ) = f (n2 ) = m が成立すると仮定すると，(ii) で n = n1 ，n2 として n1 = f (f (n1 ) + 4) = f (m + 4) n2 = f (f (n2 ) + 4) = f (m + 4) \ n2 なので f (m + 4) = \ f (m + 4) となり矛盾． n1 = したがって，⃝ 1 は示された． (ii) より f (f (f (n)) + 4) = f (n) となり，⃝ 1 の対偶を用いると f (f (n)) + 4 = n f (f (n)) = n − 4 ······⃝ 2 となる．(ii) より f (f (n − 4) + 4) = n − 4 ······⃝ 3 となるから，⃝ 2 ，⃝ 3 および ⃝ 1 の対偶を用いると f (n) = f (n − 4) + 4 となる．これをくり返し用いると f (4n) = f (0) + 4n f (4n + 1) = f (1) + 4n f (4n + 2) = f (2) + 4n f (4n + 3) = f (3) + 4n ······⃝ 1 が成立する．(1) より f (0) = 2011， f (4) = 2015 ······⃝ 4 となる．また，(iii) より f (4n) < f (4n + 2) < f (4n + 4) であるから f (0) < f (2) < f (4) が成立する．⃝ 4 もあわせると f (2) = 2012 または 2013 または 2014 となる． f (2) = 2012 とすると，(ii) で n = 2 とすると f (2016) = 2 となるが，⃝ 4 より f (4n) = 2011 + 4n と偶奇が異なるので矛盾． f (2) = 2014 とすると，(ii) で n = 2 とすると f (2018) = 2 となるが，f (4 · 504 + 2) = f (2) + 4 · 502 = 2014 + 4 · 502 に矛盾．よって，f (2) = 2013 となる．(ii) で n = 2 とすると f (2017) = 2 f (1) + 504 · 4 = 2 f (1) = −2014 f (4n + 1) = 4n − 2014 :::::::: となる．