第 章 幾何分野 根軸 入試問題 （ 東大後期） 平面上に つの円 ， ， があって， と は相異なる 点 ， で交わり， は およ と互いに直交している。ただし， つの円がたがいに直交しているとは， つの円に共通点があっ び て，各共通点におけるそれぞれの円に対する接線が共通点で直交しているときをいう。 円 の中心は， 点 点 ， の一方は円 ， を通る直線上にあることを示せ。 の内側に，他方は円 の外側にあることを示せ。 広島大理系前期 つの円 について、次の問いに答えよ。ただし、 円 の半径と中心の座標を 円 と円 とする。 を用いて表せ。 が共有点を持たないような の値の範囲を求めよ。 熊本大理系前期 円 の距離と と円 の接点までの距離との比が とに点 から接線を引く。 になるとする。このとき， から の接点まで の軌跡を求めよ。 直交円 （定義） 円のなす角 平面上の つの曲線がその共有点においてなす角とは、その共有点において両者に引いた接線のな す角をいう。 円が交わるとき、その 交点において 円のなす角は等しい。これを 円のなす角という。 円の なす角が直角のとき、 円は直交するという。 円が直交するとき、 円を直交円という。 （定理）直交円 円 があり、点 （証明）円 の円 の半径を に関するべきが円 とする。点 の円 の半径の平方に等しければ、 円は直交する。 に関するべきは、 で与えられるから、仮定より ∴ 円の交点を よって とすると、 となるから、 円は直交する。■ （系） 定点 の動円 （証明）円 に関するべきが一定値 を中心とし、半径 の円を ならば、円 とすると、 円 は定円と直交する。 は 直交する。 よって、動円 は常に定円 の場合は、円 と直交する。■ は虚円となるが、この場合も円 が直交 するということもある。 （定理） 点 と を通る円が円 との交点を と交わる点を とし、直線 とすれば、 である。ここで は の円 に関するべきを 表す。 （証明）直線 の交点を 、またこれらが円 より、 ∴ と直線 にメネラウスの定理を適用して、 と再び交わる点を とする。 より、 ■ （系） 定点 （証明） の動円 を通って円 に関するべきの比が一定（ と で交わる円をかき、 ）ならば、動円 と は実または虚の円と直交する。 との交点を とすると、 一定 であるから、 は定点である。従って、 よって の円 に関するべきは一定となり、円 一定 は を中心とする定円に直交する。■ 根軸 （定理）根軸 同心円でない つの円に関するべきが等しい点の軌跡は、中 心線に垂直な直線である。 （証明）（ ） 円 等べきな点を の半径を とし、 円 に関して とすると、 ∴ から下ろした垂線の足を とし、 の中点を とすると、 ∴ ∴ 定数 よって （ は定点で、 は定点 ）定直線上の任意の点を ∴ において と垂直な定直線上にある。 とすると、同様にして ∴ よって は 円 この直線を に関して等べきな点である。■ 円の根軸という。 【練習】同心円でない つの円の根軸が次のように作図できることを示しなさい。 円が交わるときは、 円の交点を通る直線が根軸になる。 円が交わらないとき ① 円 と の両方と交わる円 ②円 と円 、円 ③円 と円 、 が 円 ④直線 と円 、円 の根軸の交点を と円 と円 、円 の根軸となる。 を書く。 、円 と円 と円 、円 の根軸をかく。 の根軸の交点を とする。 【練習】離れている つの円の根軸が次のように作図できることを 示しなさい。 ① 円 と の共通外接線と 円との接点を とする。 （共通外接線の描き方にも注意） ② の中点 を通り、直線 の垂線が根軸となる。 どの つの円の根軸も一致する円の集合のおいて、これらは共軸であるといい、これらの円を共軸円と いう。共軸円をなす円の集合は次のように 種類ある。 点で交わる場合（楕円型共軸円束） 点で接する場合（放物型共軸円束） 共有点を持たない場合（双曲型共軸円束） （定理）根心 円 、 の中心が 直線上になければ 円 と のそれぞれの根軸 と 、 と は共点である。 （証明）根軸 の交点を との共有点を とし、 から円 へ引いた接線 とすると、 ∴ よって、点 この共点を は円 の根軸上にある。■ 円の根心という。 円 の中心が 直線上に なければ、 円に関して等べきの点は根心ただ一つである。 反転 入試問題 （ 名古屋大理系前期） 原点 を中心とする半径 つの接点の中点を の円に 円外の点 とするとき 点 から の座標 本の接線を引く。 を点 の座標 を用いて表せ。また であることを示せ。 点 が直線 上を動くとき 点 の軌跡を求めよ。 北大理系前期 平面上の円 し，線分 へ，この円の外部の点 の中点を 点 の座標を 点 が円 から 本の接線を引き、その接点を と とする。 を用いて表せ。 上を動くとき，点 の軌跡を求めよ。 奈良女子大 平面上の 軸に平行な直線 を とする。 上の点 に対して次の三つの条件を満たす点 を 対応させる。 原点を とするとき， の 座標は負である。 で線分 上にある。 の長さを表すとき， が 上を動くとき， は直線 を満たす。 の軌跡を求めよ。 阪大理系前期 平面において，原点 の点 に対し，次の と を通る半径 の円を つの条件 で定まる点 とし，その中心を とする。 を考える。 の向きが同じ。 以下の問いに答えよ。 点 が を除く 上を動くとき，点 の直線を とする。 が と は に直交する直線上を動くことを示せ。 点で交わるとき， のとりうる値の範囲を求めよ。 を除く 上 反転とその性質 、半径が 中心が点 しい円は 、 の円を、円 であらわすこととする。また、 を中心として点 を通る円は を中心として半径が に等 のように表せる。 （定義）反転 定点 と定数 が与えられたとき、平面上の任意の点 であるようにとる。このような点 は で、反率が （すなわち 円 の反転を が図形 反転 が図形 において、 の対応点が したがって、 が また、反転 を 反転円、 を 反転の半径 といい、点 を描くならば、 ならば、 は である。 は の反形であるという。 の対応点は である。 の反形は となる。 の反形ならば、同じ反転において において に対して であらわす。 ）とするとき、円 を描くとき、 を、 を 反転の中心、 を 反転のべき（反率）と に関して 反転 であるという。このとき、 点 上に点 に対して、ただ一つ決まるから、平面上の点 を対応させる変換が決まる。この変換を 反転 といい、 いう。反転の中心が に対して、直線 ならば、反転円の周上の各点は、この反 転によって動かない。すなわち反転円の周上の点はすべて不動点である。しか の場合は不動点は実在しない。 し、 例題 （反転の作図） 中心が 、半径 の円 あるときの点 に対して、点 に対する反転 が円 の内部に の作図の仕方が次のようにな ることを示せ。 点 を通り、直線 の膵炎と円 との交点を と する。 点 における円 の接線と直線 ればこれが求める との交点を （解答） において、 ∽ より、 ∴ （注意）点 【問題 とす の反転となる。 ■ が円の外部にあるときは、逆の操作で求めることができる。 】 中心が 、半径 の円 に対して、点 が円 の外部にあるときの点 の作図の仕方が次のようになることを示せ。 点 を中心とし半径 の円を描き、円 との交点を ， とする。 に対する反転 ， を中心とし半径 の円弧を描き、 つの円弧の と異なる交点を とすればこれが求める の反転となる。 【問題 】 中心が 、半径 の円 に対して、点 が円 の内部にあるときの点 の作図の仕方が次のようになることを示せ。 線分 中心 直線 の垂直二等分線を引き、円 ，半径 の円を描き、円 を引き，直線 との交点を との交点を との交点を ， とする。 とする。 とすればこれが求める の反転となる。 に対する反転 直線と円の反形 （定理）直線の反形 反転の中心を通る直線の反形は、その直線自身である。 反転の中心を通らない直線の反形は、その中心を通る円である。 （証明）反転を が とし、直線を を通るときは から とする。 上の任意の点 に下ろした垂線の足を の対応点 はやはり 上の点であるから、 の反形は である。 とすると、 は を通らないから、 と は異なる。 の対応点を とすると、 いま 上の任意の点を よって よって 点 とし、その対応点を とすると、 ∴ は同一円周上にある。したがって、 は を直径とする円周上を動く。したがって の反形は を直径とする円である。■ （定理）円の反形 反転の中心を通る円の反形は、その点を通る直径に垂直な直線である。 反転の中心 を通らない円の反形は、円である。そして、これら 円は を中心として相似の位置 にある。 （証明） 円 の いま円 反転を を通る直径を とし、 を通る円を とし、 の対応点を の周上の任意の点を とする。 としその対応点を とすると、 とすると、 ∴ よって よって 点 は同一円周上にある。したがって、 は、定点 において に立てた垂線上にある。したがって円 の反形直径 に垂直な直線 である。 反転を 円 とし、 の周上の任意の点を 直線 が円 を通らない円を と再び交わる点を ∴ したがって点 ある。■ とする。 とし、 の対応点を とすれば、 一定 ∴ の軌跡、すなわち円 の反形は、 とすると、 （一定） 一定 を相似の中心として円 と相似な位置にある定円で 接する 点の 円は接点を中心とする反転によって、平行な つを中心とする反転によって交わる 直線に変換される。また、交わる 直線に変換される。その 換した点になる。 （定理） 反転 において 点 の対応点がそれぞれ と は 直線上にあり、 ならば、 である。 （証明） ∴ よって は共円である。 ∴ ∴ ∴ ∴ ■ 例題 円 点 に円外の点 を通る円 から接線 の弦 を引き、 円となることを証明せよ。ただし、 線 と の交 を引く。このとき 点 は共 は接点とし、 は直 上にないものとする。 （解答） を中心とし、 を半径とする反転を考える。点 は円上にあるので動かない。 の反転は また、 になるので、点 も円 移る。よって は円 上の点 もこの円周上にある。 に移る。 点 に移る。 も 上にあるので円 上に は共円となる。■ 【問題 】 とり， である二等辺三角形 の外接円の弦 は 上に 点 を をひくとき、次が成り立つことを証明 せよ。 点 の底辺 つの円周上にある。 円はその交 直線の交点は交点のもう一方を変 例題 （トレミー） 円に内接する四角形において、 組の対辺の積の和は対角線の積に等し い。 円に内接する四角形を とすると、 である。 （解答）四角形 中心 の外接円の中心を とし、反転の を外接円の周上にとり、反転の半径を 点 の反転を とすると、 は一直線上にある。 とすると、 反転の性質より ∽ よって、 とする。 より、 同様にして、 より、 ■ 点 不動点定理 入試問題 （ 東大文系） 白石 個と黒石 個の合わせて 個の碁石が横に一列に並んでいる。碁石がどのように並んでい ても，次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも一つあることを示せ。 その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと，残りは白石と黒石が同数となる。ただし，碁石 が一つも残らない場合も同数とみなす。 京大文系 は自然数で このとき適当な とする。穴のあいた 箇所でひもを切って 個の白玉と 個ずつの 個の黒玉にひもを通して輪を作る。 組に分け，どちらの組も白玉 個 黒玉 個か らなるようにできることを示せ。 神戸大 自然数 に対して， から までのすべての自然数の集合を とする。 から への写像 が次の 条件 かつ をみたすとき， ただし，集合 ら となる の要素 の各要素に対して集合 への写像という。写像は ならば，つねに があることを示せ。 の要素のいずれかを などで表し， の要素 に写像 つずつ対応させる規則のことを， で対応する の要素を か と書く。 リプシッツ連続 （定義）リプシッツ連続 関数 が任意の実数 を満たす 以上の実数 に対して、 が存在するとき、 より、 以上 はリプシッツ連続といい、 をリプシッツ定数という。 上の任意の異なる 点 以下であることを意味する。 （定理） リプシッツ連続な関数は連続である。 （証明） のとき、 よって、 ■ この定理の対偶をとることで、次の系が得られる。 （系） 関数 が連続でなければ、リプシッツ連続ではない。 例題 次の関数がリプシッツ連続であるかどうか調べよ。 （解答） 平均値の定理より、 よってリプシッツ連続。リプシッツ定数は とすると、 よって、 はリプシッツ写像ではない。 は で連続でないのでリプシッツ連蔵ではない。■ 【問題 】 次の関数がリプシッツ連続であるかどうか調べよ。 を通る直線の傾きが 縮小写像 （定義）縮小写像 リプシッツ定数 が となるリプシッツ連続な関数 を縮小写像という。 例題 次の関数が縮小写像であるかどうか調べよ。 （解答） のとき、 が常に成り立つ つまり、 より小さい は存在しない。 は縮小写像ではない。 となる実数 に対して、平均値の定理より、 は縮小写像である。 とすると、 よって、 はリプシッツ写像ではない。よって、 は縮小写像ではない。■ 【問題 】 次の関数が縮小写像であるかどうか調べよ。 不動点定理 （定理）縮小写像の不動点定理 関数 が縮小写像であるとき、方程式 （証明）（一意性の証明） を （存在性の証明） より とおくと、 ① の実数解とすると、 のときは とおくと、 の実数解がただ一つ存在する。 と より、 となる。よって の場合のみを考える。 は同符号。 が連続なので も連続。 のとき、 は連続関数で ② より、 は において実数解を持つ。 より、 は において実数解を持つ。 のとき、 は連続関数で ①②より は実数解を持つ。■ 例題 関数 を と定める。このとき、 て、 は成り立つが、 （解答） となる任意の実数 に対し は縮小写像であることを示せ。 として、平均値の定理を用いると、 しかし、 つまり、任意の について すなわち となり不動点を持たない。よって は縮小 写像でない。■ このことは を満たしても、縮小写像であるとは限らないことを意味している。縮小 写像は を満たす 【問題 】 関数 を となる任意の実数 方程式 に無意味な実数 が取れることが必要である。 と定める。 に対して、 は実数解を持たないことを示せ。 は成り立つことを示せ。 逐次近似法 （定理）逐次近似法 関数 が縮小写像であるとき、漸化式 （証明） で定まる数列は、 が縮小写像なので、 また、不動点定理より は不動点 の不動点 となる実数 を持つ。 と に収束する。 が存在する。 のリプシッツ連続性から、 ■ 例題 は より大きな定数とし、数列 全ての自然数 を について、 と定める。 が成り立つことを示せ。 を求めよ。 （解答） とおくと、 より、 である。 は上に凸な放物線で、 において単調に増加する。 を数学的帰納法で証明する。 ① のとき、 ② のとき、 より成立。 が成り立つと仮定する。 のとき、 で単調に増加するから、 よって のときも成立。 ①②より全ての自然数 について成り立つ。 より、 よって、はさみうちの原理より ■ 共円 入試問題 （ 京大理系） 平面上の鋭角三角形△ の内部（辺や頂点は含まない）に点 中心， ′を ， ， を通る円の中心， ′を ， ， が同一円周上にあるための必要十分条件は をとり， ′を ， ， を通る円の を通る円の中心とする。このとき が△ ， ， ， の内心に一致することであることを 示せ。 （ 京大理系） において， に の二等分線とこの三角形の外接円との交点で の二等分線とこの外接円との交点をそれぞれ は （ 点 で交わり，この点 は三角形 ′ と異なる点を ′とする。同様 ′ とする。このとき 直練 の垂心と一致することを示せ。 滋賀医大） 平面上で つの円 それぞれ ´が点 で内接している。ただし ´が ´とおく。円 ´上にあって直線 は異なる交点を ，直線 点を と円 ，直線 ´を示せ。 を示せ。 と円 との との より小さいとする。円 ´上にはない点 をとる。直線 とは異なる交点を ，直線 とは異なる交点を とする。 ´と円 ´の中心を と円 との との と とは異なる交 六点円 （定理）六点円（テーラー円） において、頂点 の足をそれぞれ とする。頂点 引いた垂線の足を 垂線の足を 足を から対辺に引いた垂線 、頂点 、頂点 から辺 に から辺 から辺 に引いた に引いた垂線の とするとき、 点 は同一円周 上にある。 （証明） 点 が同一円周上にあることを示す。 より、 点 ∽ よって、 ∽ は同一円周上。よって、 より、 ∴ より、 同様にして、 よって、 より 点 は同一円周上にある。 となり、 点 は同一円周上にある。 が同一円周上にあることを示す。 点 より、 点 は同一円周上。よって、 より より、 同様にして、 点 は同一円周上にあり、 より より、 点 より、 点 より、 ∴ は同一円周上。よって、 は同一円周上。よって、 ∴ より、 よって、 点 より、 点 は同一円周上にある。 は同一円周上にある。■ 九点円 （定理）九点円 の の中点を 、頂点 から対辺に引いた垂線の足をそれぞれ と垂心 との中点を 、 頂点 とするとき、 点 は同一円周上にある。 （証明） より、 また、 より、 四角形 同様に、四角形 は長方形。 も長方形。 より、 点 より、 は同一円周上。 もこの円の直径。 より、 点 も同一円周上。■ 円と三角形 入試問題 （ 京都大） 平面上の点 は を中心とし半径 以下であることを示せ。 の円周上に相異なる 点 ， ， がある。 の内接円の半径 円と三角形の五心 （定理） 三角形の外接円は、内心と傍心を結ぶ線分、および傍心と傍心 を結ぶ線分を 等分する。 の内心を 、 る 。更 に 内の傍心を の外接円と 、 とす との交点をそれぞれ との交点をそれぞれ とすると、 はそれぞれ の中点で ある。 （証明） はそれぞれ共線で、 から、 は の垂心である。よって、 点 と である は同一円周上にある。 ∴ ∴ つまり は の中点である。 同様に、 ∴ より、 同様に は を中心とする共円である。つまり も外接円によって は の中点である。 等分されることがわかる。■ 例題 三角形の外心を 半径を 、外接円の半径を 、その中心を とし、 つの傍接円の とすると、 が成り立つことを証明せよ。 （解答）傍接円の接する辺を れば、前の定理より 円 の を通る直径を とし、 に対する頂点を とする。 に接する点を とする。 。 、傍接円 が より、 ∴ より、 ∽ ∴ ∴ ■ と円 との交点を とす 【問題 】 とする。 の内心を から とし、内接円が に下ろした垂線の足を に接する点を とすれば、 であることを証明せよ。 例題 （チャプル） の外心を 、内心を とし、外接円の半径を 、内接円の 半径を とすると、 が成り立つことを証明せよ。 （解答） の延長が円 と交わる点を とし、 を通る直径を とする。 ∴ 内接円が に接する点を ∴ とすると、 ∽ ∴ （ ∴ ＝ ∴ 【問題 】 円 ∴ ∴ より、 ∴ ∴ があるとき、円 数に存在することを証明せよ。 は の円 ∴ に関するべき） ■ に内接し円 に外接する三角形が つあれば、このような三角形は無 三角形の面積 （定理） の辺 の長さを とし、 おく。内接円の半径を 、 とし、 の面積を と 内の傍接円の半径を とすると、 （証明） 他も同様。■ 例題 の辺 の長さを の内接円の半径を とし、 の面積を と おく。 の内心を 、 更に 内の傍心を の内接円と辺 とし、傍接円 とする。 との接点をそれぞれ と辺 との接点をそれ ぞれ とする。 このとき、次のことを証明せよ。 （解答） 同様にして、 同様にして、 と において、 より、 また ∽ より、 ∴ ∴ ∴ ∴ ■ 【問題 】（ヘロン） の 辺の長さを 、 内接円の半径を の面積を とすると、 となることを証明せよ。 例題 面積を の 辺の長さを とし、外接円の半径を 、三角形の とすると、 が成り立つことを証明せよ。 （解答） において、 した垂線の足を とし、 、外接円の を通る直径を より、 ∴ から に下ろ とする。 ∽ ∴ ∴ ∴ ■ 【問題 】 の内接円の半径を 、 内の傍接円の半径を とおけば、 であることを証明せよ。 【問題 】（マイユー） であることを証明せよ。 の内接円の半径を 、面積を 、傍接円の半径を とおけば、
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